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Rayleigh阻尼比例系数的确定21

Rayleigh阻尼比例系数的确定
刘红石
(湘潭机电高等专科学校湖南湘潭411101)

摘要在结构动力响应分析时,阻尼的作用是不可忽视的。本文应用最小二乘法导出了Rayleigh阻
尼的比例系数计算公式,通过算例比较分析,取得了较为满意的结果。
关键词阻尼比,比例系数,最小二乘法

一个非常简单的物理关系,便于应用和计算。因
1前言
此,在一般结构振动中,人们常采用这种粘性阻
对结构进行动力响应分析时,通常可设结尼力。
构的n阶动力响应方程为:按式(2)的粘性阻尼模型,设形状函数为
[M]{Ub}+[C]{Ua}+[K]{U}={F(t)}[N],则由有限元离散可得:
(1)[Cc]=¥¥¥[N]TC[N]dv(3)
式中[M]为质量矩阵,[C]为阻尼矩阵,[K]为这样就可计算出单元阻尼阵。将各单元阻尼阵
刚度矩阵,{U}为位移向量,{F(t)}为外载荷向组集即可得到整体阻尼阵[C]。遗憾的是,在实
量。际工程结构中,C的分布是不易确定的,式(3)
一般来讲,阻尼在结构振动的过程中,是时给出的阻尼阵,实际上只是一种形式上的阻尼
刻都存在着的。任何一种结构的自由振动都将阵。因此,在工程中采用一些近似方法来确定
在阻尼的作用下衰减并最终停止。在分析方程[C],而不是用式(3)的形式。由于阻尼通常比
(1)时,阻尼是不可缺少的一个重要方面。但是惯性与刚度的影响小,所以,用简化的近似表示
阻尼的机理很复杂,它既包括结构自身的本构[C]也是合理的。
关系,又包括结构周围介质与结构的相互作用。因此,通常采用如下形式的粘性阻尼矩
[1]
实际上,阻尼体现了结构运动的一个重要的物阵
理关系,它与介质的粘性、结构的粘性、内摩擦[C]=A[M]+B[K](4)
损耗等联系在一起。显然,要完全反映结构的阻这种阻尼称为Rayleigh阻尼,这种阻尼矩阵称
尼机理,需要很复杂的物理关系。为比例阻尼矩阵。其中A和B是比例系数,可通
过实验来确定。把阻尼矩阵写成式(4)的形式,
2阻尼分析还有一个优点就是阻尼阵关于振型的正交性。
1877年Rayleigh将线性阻尼的观点引入结构的振型[U]与质量矩阵和刚度矩阵有如下
了弹性体的振动方程。结构的阻尼力的一部分关系:
T
与结构的运动速度成线性比例,即fc=CuaUa;[U][M][U]=[I]
2
阻尼力的另一部分与结构的应变速度成线性比X1
2
例,即fc=CeaEa。通常这两种阻尼可用X2
T
fc=CUa(2)[U][K][U]=w
2
来近似表示,而将与运动速度和应变速度的关Xn-1
2
系用C的不同组合来给出。实验表明,对许多Xn
材料,这种阻尼假设是可行的,更重要的是它是
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1999年12月噪声与振动控制第6期

于是,设结构的阻尼比为N1,第i阶特征振型为的比例系数A和B,并按式(6)求得其真实阻
尼。
{U1},由式(4)有
2
X14算例与结果分析
2
X2
T假设对一个多自由度系统的要求阻尼指定
[U][C][U]=A[I]+Bw
[1]
2如下,试计算比例系数A和B。
Xn-1
2阶次
Xn12345

2X1N1X2371519

2X2N2N0.020.030.040.100.14
=⋯(5)
解:将所需数据列表如下:
2Xn-1Nn-1
振型阶次
2XnNni=1i=2i=3i=4i=52
项目
T
其中1(i)ii
N=0.5X{U}[C]{U}NiöXi0.0100.0100.00570.00670.00740.0400
又由阻尼阵关于振型的正交性有
:XiNi0.0400.0900.28001.50002.66004.5700
2
iii2
A+BX=2XNXi4.0009.00049.000225.00361.00648.00
2
A+BXi2
改写为Ni=(6)1öXi0.2500.1110.02040.00440.00280.3886
2Xi
将数据分别代入式(7)、(8)解得:
3比例系数的计算方法
A=0.02593,B=0.01390
[2]
由最小二乘法,可将A=0.02593和B=0.01390代入式(6)可得真
n22
i实阻尼比。
令A+BX
D=6-Fi
i=12Xi2
0.02593+0.01390Xi
Fi=(9)
将上式分别对A和B求偏导,且令其偏导为零,2Xi
化简得:将按式(9)、文献[1]之方法计算出的真实阻
nn
5D1nNi尼比和实际要求的阻尼比列表如下:
=2A+B-=0
5A62i26Xi
i=1Xi=