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第19卷增刊数学研究与评论Vol.19Supp
1999年4月JOURNALOFMATHEMATICALRESEARCHANDEXPOSITIONApr.1999

非线性多值算子扰动的映射定理X

王为民赵义纯
(浙江工业大学基础部,杭州310014)(东北大学数学系,沈阳110006)

摘要:本文讨论非线性多值算子的非紧扰动的映射定理,并给出非线性泛函方程
z∈T(x)+F(x)
1
可解性的最新结果,其中T是多值算子且(T+I)-1是12集压缩,而F是12集压缩或C2凝
n
聚.所得的结果改善了[5,8,12]中的主要结果.

关键词:12集压缩算子,C2凝聚算子,m2增生算子.
分类号:AMS(1991)47H10öCLCO177.91
文献标识码:A文章编号:10002341X(1999)增刊20225205

3
设X是实Banach空间,X是它的共轭空间.用B(x,r)表示以x∈X为中心,以r为半径
的开球.用8v和58分别表示X的子集8的闭包和边界.
设C是Kuratowski或球非紧度量,连续算子F:D(F)<X→X称为C2压缩的是指对所有
有界集B<D(F),存在常数k(0≤k≤1)使得C(FB)≤kC(B).若k<1,则称F是严格C2压缩
的;若k=1,则称F是12集压缩的.连续算子F称为C2凝聚的是指对任何有界集B<D(F)且C
(B)>0,都有不等式C(FB)<C(B)成立.
X
多值算子T:D(T)<X→2叫做强增生的是指对任何x,y∈D(T),u∈T(x),v∈T(y),
存在j∈J(x-y)使得
〈u-v,j〉≥Cúx-yú2,(1)
3
X
其中C是与x,y无关的正数,J:X→2是正规对偶映射
22
Jx={j∈X3:〈x,j〉=úxú=úyú},
〈õ,õ〉表示X与X3之间的广义对偶对.如果不等式(1)对C=0的情形成立,那么T叫做增生
算子.增生算子T称为m2增生的是指对所有K>0,KT+I是到X上的满射,即R(KT+I)=
X,其中I是恒等算子.对于多值算子T,记ûT(x)û=inf{úyú:y∈T(x)}.
以上概念参看文献[3].
[6-9][5][12][2][4][11]
最近,Kartsatos,Hirano,Morales,Chen,He和Liu等人研究了m2增生算
子被紧算子或12集压缩算子扰动的值域问题.这一方向的研究是与半线性发展方程和积微分
-1
方程密切相联的.但是,必须指出:如果T是m2增生算子,对K>0,(T+KI)不一定是非扩张

X收稿日期:1995203228
作者简介:王为民(19602),男,江苏泰州人,硕士,浙江工业大学副教授.
—522—
©1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.
的.本文的目的是给出非线性泛函方程
z∈T(x)+F(x)(2)

1-1
可解性的一些新结果,其中T是多值算子,(T+I)是12集压缩,而F是12集压缩或C2凝
n
聚.结果改善或推广了[5,8,12]中的一些结果.

X1-1
定理1设X是Banach空间,T:D(T)<X→2是多值算子且(T+I):X→D(T)是
n
12集压缩;F:D(T)→X是12集压缩算子.假设存在正数a,b使得对任何x∈D(T)且úxú≥b,
有
aúxú+úF(x)ú≤ûT(x)+F(x)û,(3)
则T+F的值域在X中稠密.
1
证明设z∈X,选择n0∈N使得当n≥n0时,<a.定义算子An:X→X,An(x)=z-(1-
n

11-1
)F(T+I)(x)(n≥n0).可以证明An有不动点,为此只需证明集合
nn

E(n)={x∈X:Kx=An(x),K>1}
是有界的.对任意x∈E(n),有K>1使得

11-1
Kx=z-(1-)F(T+I)(x).
nn

11-1
取b1≥b且(a-)b1>úzú.令y=(T+I)(x),则可得úyú<b1.事实上,若不然,即úyú≥
n0n

b1,则存在u∈T(y)使得

-111-1
z≥Kz=u+y+(1-)KF(y)
úúúúúnnú

11-1
=u+F(y)+y-[1-(1-)K]F(y)
únnú

1-11
≥u+F(y)-[1-(1-)K]F(y)-y
úúnúúnúú
11
≥ay-y≥(a-)b1,
úúnúún

矛盾.因为F是12集压缩,所以F{B(0,b1)}是有界的,设其界为M,则对所有x∈E(n),有
1
x≤Kx≤z+(1-)F(y)≤z+M.
úúúúúúnúúúú

1-1
显然An(n≥n0)是C2凝聚映射,于是An有不动点xn,即xn=Anxn.令yn=(T+I)(xn),un
n
11
∈T(yn),z=