高考数学解答题的解题策略.doc

数学解答题的解题策略

解答题可分为低档题、中档题和高档题三个档次，低档题主要考查基础知识和基本方法与技能，中档题还要考查数学思想方法和运算能力、思维能力、整合与转化能力、空间想象能力，高档题还要考查灵活运用数学知识的能力及分析问题和解决问题的能力．
基础训练

（1）已知，求函数的最小值．
思路点拨：
，而与有联系，可设，则原来的问题可转化为二次函数的闭区间上的最值问题．
（2)x、y满足条件，求y－3x的最大值与最小值．
思路点拨：
此题令b=y－3x，即y=3x+b，视b为直线y=3x+b的截距，而直线与椭圆必须有公共点，故相切，b有最值．
（3)不等式对满足的一切实数m都成立，求x的取值范围．
思路点拨：
此问题由于是常见的思维定势，易把它看成关于x的不等式讨论，若变换一个角度，以m为变量，使，则问题转化为求一次函数（或常函数）的值在[-2，2]内恒负时，参数x应满足的条件．
典型例题
（一）以退为进策略
1、由整体向局部退
某些问题，可以退到构成这一整体内容的部分上，用带有整体特征的部分来处理问题，解题思路便会豁然开朗．
例1、在锐角中，求证：．
【解析】∵，∴，即，由于在上是单调递减的．∴，同理可证：．
上述三式相加，得：．
【题后反思】
本题由整体退向局部，由一个角的三角函数或两个角的三角函数关系式入手，进行研究，解出部分证明了整体．
2、由巧法向通法退
巧法的思维起点高，技巧性也强，有匠心独具、出人意料等特点，而巧法本身的思路难寻，方法不易把握，而通法则体现了解决问题的常规思路，而顺达流畅，通俗易懂的特点．
例2、已知，求的取值范围．
【解析】由，得，
∴，
∴
，
从而得．
【题后反思】
本题是一典型、常见而又方法繁多、技巧性较强的题目，求解时常常出错，尤其是题目的隐含条件的把握难度较大，将解法退到常用的数学方法之一——消元法上来，则解法通俗、思路清晰．
（二）合理转化策略
转化思想方法用于研究、解释数学问题时思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化成另一种情况，也就是转化到另一种情境，使问题得到解释的一种方法，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维模式，转化的目的是使问题变的简单、容易、熟知，达到解决问题的有利境地，通向问题解决之策．
1、常量转化为变量
有的问题需要常、变量相互转化，使求解更容易．
例3、设，求证：．
【解析】令，则有，若，则成立；
若，则，∴方程有两个相等的实数根，即，
由韦达定理，，即，又，
∴，∴，∴．
【题后反思】
把变量变为常量，也就是从一般到特殊，是我们寻找规律时常用的解题方法，而本题反其道而行之，将常量变为变量，从特殊到一般使问题得到解决．
2、主元转化为辅元
有的问题按常规确定主元进行处理往往受阻，陷于困境，这时可以将主元化为辅元，即可迎刃而解．
例4、对于满足的所有实数p，求使不等式恒成立的x的取值范围．
【解析】把转化为，则成为关于p的一次不等式，则，得，由一次不等式的性质有：，
当时，，∴；
当时，，∴，综上可得：．
【题后反思】
视x为主元，不等式是关于x的一元二次不等到式，讨论其取值情况过于繁琐，将p转化为主元，不等式是关于p的一次的不等式，则问题不难解决．
3、正向转化为反向
有些数学问题，如果是直接正向入手求解难度较大，可以反向考虑，这种方法也叫“正难则反”
例5、若椭圆与连接A（1，2）、B（3，4）两点的线段没有公共点，求实数a的取值范围．
【解析】设线段AB和椭圆有公共点，由A、B两点的坐标可得线段AB的方程为，，则方程组，消去y
得：，即，
∵，∴，∵，∴，
∴当椭圆与线段AB无公共点时，实数a的取值范围为．
【题后反思】
在探讨某一问题的解决办法时，如果我们按照习惯的思维方式从正面思考遇到困难，则应从反面的方向去探索．
4、数与形的转化
数形结合，实质上是将抽象的语言与直观图形结合起来，以便化抽象为直观，达到化难为易，化简为繁的目的．
例6、已知是定义在上的奇函数，且在区间上是增函数，若，解不等式．
【解析】由在上为增函数，且是定义域上的奇函数，
∴在上也是增函数．
∵，∴，∴或，
○
○
x
y
-1
1
O
由函数的单调性知：或，
∴原不等式的解集为：
【题后反思】
由已知，是定义在上的奇函数，且在区
间上是增函数，由，则可得的
大致图像如下图，可知
5、自变量与函数值的转化
函数单调性的定义明确体现了函数自变量的不等式关系与函数值间不等关系相互转化的思想，理解它们之间的相互转化关系，有利于灵活运用函数的单调性解题．
例7、设是定义在上的增函数，且对于定义域内任意x、y，都有
，求使不等式成立的x的取值范围．
【解析】∵的定义域是，∴，即，
由于，得，
由，得，
∴由题设条件得：，
∵是定义在上的增函数，∴，解之得：，又，
∴适合题意的x