M是连通拟阵与是连通图的关系.pdf

V01．9No．21Nov．2oo9
第9卷第21期2009年11月科学技术与工程
1671—1819(2009)21—[e-mail]．

是连通拟阵与G(D拌)是连通图的关系

吕国亮赵小鹏
(渭南师范学院数学与信息科学系，渭南714000)

摘要研究是连通拟阵与G(D)是连通图的关系。证明了M中有一个基曰，使得c，cz，⋯，C⋯是M中全体对应于基
的基本极小圈，等价于对任意J∈{1，2，⋯，n—r)，C_UC。由此证明了(Cunningham1973，Krogdahl1977)M是连通拟阵等价

于BC_uCM(e，曰)，并且对任意XNY=，uy=E(肘)一B都有((e，曰))n(c(e，B))≠。得到结果为M是
，，
E￡【J一⋯⋯
连通拟阵等价于G(D)是连通图。
关键词连通拟阵连通图矩阵A的关联二部图元素对应于基曰的基本极小圈基B的极小圈关联矩阵
中图法分类号0157．5；．文献标志码4

引理2设M=(E，，)是个拟阵，又设DCE，则
D∈C(M)的充分必要条件是D满足以下各条件：
1引言及引理](i)D≠。
(ii)对任意的C∈C(M)，都有IDACI≠l。
设D是的关于基的基本极小圈关联矩(iii)D的任意真子集都不满足(i)和(ii)。
阵，则G(D)是D的关联二部图。在拟阵线性表示
构造的研究中，有定理是设域F上的一个r×凡矩阵2对应于基的全体基本极小圈的性质
[，rID】是拟阵的一个F-表示，且{b。，b，⋯，b}
是G(DI*)的一个基，则(i)k=n一∞(G(D))，命题1设C1，C2∈C()且有e1∈C1一C2，
(ii)设G，是G(D)中的一个森林，且：E(G)一e2∈C2一C1及clnC2≠。则存在C3∈C(M)，使
F一{0}是个映射，则一定可以用一系列矩阵的行列得el，e2∈C3ClUC2。
数乘运算把D，变换成D：，并且对每条边E证明取e3∈C1nC2。设e1，e2，e3两两不同。
E(G)，D中对应于的元素是()。假定命题不成立，即肘中不存在C∈C(M)使得e。，
由此可见，D的关联二部图G(D)在拟阵线性e2∈C。选取cl，c2使得e1∈C1，e2∈C2，IClnc2l
表示的构造中的重要性，并且G(D)的引进使得可>0，且ICluC2l最小。由于C1≠C2，e1∈Cl—C2，
以通过探讨G(D)的图论性质来研究矩阵D的对某个∈Cnc：，据引理1，有c∈c(M)，使e
性质。∈C3(CluC2)-f,。由假定e2隹C1且C1≠C3。
引理1(强极小圈消去公理)设C，C：∈C。C3C1uC2一，∈C1nC2，故有e2∈C2一C1
C3一C，∈C3ncl。再次应用引理1，有c∈
若有e∈C。nc及fEC2一C，，则必有C∈C使得
／∈C3(C1UC2)一e。C()使e2∈C4CUC3一。由于∈C3nC
C。n(C1UC2一)，∈C2C4C。uC2一，2。譬

2009年7月23日收到c，c4C2。c3一c2G1uc2一—C2=C1一，故
第一作者简介：吕国亮(1949一)，渭南师范学院数学与信息科学系教C3一C2cc1，C1nC4](C3一C2)nC4≠。但Clu
授。研究方向：拟阵论。E—mail：[e-mail]。C4Cu(C1uC3一)(C1u(C，u(C1UC2)一
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)-A)(CuC)一-厂2。从而据lCuCl的最小(C(e，B))CI(，(e，B))≠。
性，必有C∈C()使得e，e：∈C。与前设假定故对i=1，2，⋯，n—r一1，C。nC⋯≠。对每
矛盾。个1≤n—r，选ej∈C一_UC。当i时就有e∈
命题2【2设是个秩r拟阵，r(M)=n—r。
C—C和ei∈c—C。从而根据命题1，存在C∈
又c，c，⋯，C⋯∈C(M)，则下列命题等价：C()，使得ei，。CCCUCJ。故是连通的。
(i)有一个基B∈B(M)，使得c。，c，⋯，
(i)j(ii)因为连通的有环元的拟阵必为
c⋯是中全体对应于曰的基本极小圈。
，
．故可设M不含环元。用反证法。设有
(ii)对任意∈{1，2，⋯，n—r}，cuc。
I≠
E()一曰的划分和y，但(，C(e，B))n
证明(i)(ii)令E—B={e，e，⋯，(C(e，))=。因无环元，故M≠go．。又

e
一}，C=C(e，B)，则CBUe，从而对所有

CM(e，B)Bue，故有a∈U．．C(e，B)一X≠，及b
，≤≤n—r，都有UCBU({e，e，⋯，e一，}一
LJ∈U
．．C(e，B)一y≠。由(i)拟阵是连通的，
{勺})=E一。而∈，即_Uc。
必有C∈C