正余弦定理的多种证明方法.doc

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利用向量统一正、余弦定理的证明

正、余弦定理是解三角形强有力的工具，关于这两个定理有好几种不同的证明方法，［1］人教版中等职业教育国家规划教材《数学》（提高版）是用向量的数量积（内积）给出证明的，如是在证明正弦定理时用到：作辅助单位向量并对向量的等式作同一向量的数量积，这种构思方法过于独特，不易被初学者接受。本文通过三角函数的定义，利用向量相等和向量的模统一正、余弦定理的证明，方法较为简单。从本文的证明中又一次显示数学中“数”与“形”的完美结合。

定理：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,则

（1）（正弦定理）==；

（2）（余弦定理）

c2=a2+b2-2abcosC,

b2=a2+c2-2accosB,

a2=b2+c2-2bccosA。

证明：建立如下图所示的直角坐标系，则A=（0，0）、B=（c,0），又由任意角三角函数的定义可得：

C=（bcosA,bsinA），以AB、BC为邻边作平行四边形ABCC′，则∠BAC′=π-∠B，

∴C′(acos(π-B),asin(π-B))

=C′（-acosB,asinB）。

根据向量的运算：

=（-acosB,asinB），

=-=（bcosA-c,bsinA）,

（1）由=：得

asinB=bsinA,即

=。

同理可得：=。

∴==。

(2)由=（b-cosA-c）2+(bsinA)2=b2+c2-2bccosA，

又||=a,

∴a2=b2+c2-2bccosA。

同理：

c2=a2+b2-2abcosC；

b2=a2+c2-2accosB。