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给定阶的非同构群的结构

摘要：若给定阶数n的非同构群，本文将列举出直到n=7的各阶群的可能结构。并总结出对于任意的n，有两点共性。
关键词：阶非同构群Lagrange定理

n=1。只有一种结构：仅有一个单位元的群，G={e}
n=2。同样也只有一种结构
证明：群中有两个元素，必有单位元，设另一元素为a，记作G={e，a}.
由群元素乘积的封闭性得ee=eea=a
若aa=a则a=e,矛盾！因此aa=e
即群只有一种结构：2阶循环群G={a，a=e}。元素的阶为2

n=3。也只有一种结构：
证明：设群G={e,a,b}。
由群元素乘积的封闭性得ee=eea=aeb=b
对于ab，若ab=a，则b=e，矛盾！若ab=b，则a=e，矛盾！故ab=e.
对于aa，若aa=a，则a=e，矛盾！若aa=e，则{a，a=e}为二阶循环群，矛盾！故aa=b.
同理bb=a.故e=ab=a(aa)=a或e=ab=bbb=b.
因此，3阶群只有一种结构，即3阶循环群G={a，a，a=e}或G={b，b，b=e}.

n=4，有两个非同构群的最低的阶。
证明：G={e,a,b,c}.而有限群任意元素阶必为群阶的整数因子。
则a,b,c的阶只可能为2或4.
(1)若G中任一元素a的阶为4，即a=e.
则据乘法的封闭性，群中其余两元素必定是a的幂次,可令a=b，a=c.
即构成由a生成的4阶循环群G={a，a，a，a=e}.
(2)若G中无4阶元，即，有a的阶为2，即a=e.故a=b=c=e.
对于ab，若ab=e，则b=a，矛盾！若ab=a，则b=e，矛盾！若ab=b，则a=e，矛盾！
故ab=c.同理ac=b，bc=a，且ba=c，ca=b，cb=a.
此时G是Klein四元群，这也是最低阶非循环群。

于是两互不同构的结构是：
(1)4阶循环群G={a，a，a，a=e}.
(2)4阶非循环Klein四元群。

n=5。只有一种可能结构。
由有限群，任元素阶必为群阶的整数因子，得任元素的阶只可能是1或5。
因此5阶群只有一种结构，即5阶循环群G={a，a，a，a，a=e}

n=6。有两个不同的(非同构的)群。
证明：设G={e,a,b,c,d,f}。与前面一样，除e外所有元素的阶必为2，3或6。
如果任一元素的阶为6，则是一个6阶循环群G={a，a，a，a，a，a=e}
(2)任意非交换（循环）的六阶群必同构于
证明：对任意非循环六阶群G，因为群的阶为6，
由Lagrange定理，G中任意元素的阶为1，2或3。
其中有且仅有单位元e，其阶为1。
下面，我们证明G中不是所有的除e外的元素的阶都为2。
（反证法）假定所有除e外的元素的阶都为2，则

这与G为非交换群矛盾。所以群中比存在阶为3的元素，不妨假设为a.
则我们已找到群中的三个元素：e，a，a（其中a的阶也是3）。
则群中还有3个元素，不妨设其中一个为b，于是群中元素为e,a,a,b,ab,ba.

同理，所以的阶都是2。设=(1),=(23),=(12),
=(123),=(132),=(13).则={,,,,,}.
作同构映射将分别映射到，将映射到，易看出为同构映射。故可证得任意非交换（循环）的六阶群必同构于

于是所得出的两个结构是：
(1)一个循环群G={a，a，a，a，a，a=e}
(2)一个非循环群G={e,a,b,c,d,f}，它与同构，从而得出其结构是a=b=e,c=d=f=e,b=a,ac=f,ca=d,bc=d.

7、n=7。只有一种结构。
由有限群，任元素阶必为群阶的整数因子，得任元素的阶只可能是1或7。
因此7阶群只有一种结构，即7阶循环群G={a，a，a，a，a，a，a=e}

对更大值得n，照此办法继续下去，原则上虽然是可能的，但却不太容易。通常，非同构群的数目随n的增大而增大。但要注意两点：
(1)对于任意有限的n，总有一个由n阶元素生成的循环群，即G={a，a，a，……，a，a=e}
(2)若群的阶是一素数，则只有一种结构，这就是n阶循环群。