数字信号处理讲义--第9章 离散傅里叶变换的计算.doc

第９章离散傅里叶变换的计算
教学目的
1．了解直接计算DFT与序列长度N的关系，理解开发高效算法的的意义；
2．理解高效算法的原理与实现方法，掌握按时间和按频率抽取的FFT算法原理和实现；
3．掌握卷积实现DFT的方法；
4．掌握复合数N的FFT算法；
5．了解离散傅丽叶变换中有限寄存器长度的影响。
教学重点与难点
重点：本章是本课程的另一个重中这重。
1．高效算法的原理与实现方法，掌握按时间和按频率抽取的FFT算法原理和实现；
2．卷积实现DFT的方法．；
3．离散傅丽叶变换中有限寄存器长度的影响。
难点：
1．掌握按时间和按频率抽取的FFT算法原理和实现；
2．卷积实现DFT的方法。
9.0引言
离散傅里叶变换（DFT）有一种快速算法，我们平常称为快速傅里叶变换（FFT）。
由于有限长序列在其频域也可离散化为有限长序列（DFT），因此离散傅里叶变换（DFT）在数字信号处理中是非常有用的。例如，在信号的频谱分析、系统的分析、设计和实现中都会用到DFT的计算。但是，在相当长的时间里，由于DFT的计算量太大，即使采用计算机也很难对问题进行实时处理，所以并没有得到真正的运用。直到1965年首次发现了DFT运算的一种快速算法以后，情况才发生了根本的变化。人们开始认识到DFT运算的一些内在规律，从而很快地发展和完善了一套高速有效的运算方法，这就是现在人们普遍称之为快速傅里叶变换（FFT）的算法。FFT出现后使DFT的运算大大简化，运算时间一般可缩短一二个数量级之多，从而使DFT的运算在实际中真正得到了广泛的应用。
9.1离散傅里叶变换的高效计算
9.1.1直接计算DFT的运算量问题
设x(n)为N点有限长序列，其DFT为

k=0,1,…,N-1（9-1）
反变换（IDFT）为

n=0,1,…,N-1（9-2）

二者的差别只在于WN的指数符号不同，以及差一个常数乘因子1/N，所以IDFT与DFT具有相同的运算工作量。下面我们只讨论DFT的运算量。
一般来说，x(n)和WNnk都是复数，X(k)也是复数，因此每计算一个X(k)值，需要N次复数乘法和N-1次复数加法。而X(k)一共有N个点（k从0取到N-1），所以完成整个DFT运算总共需要N2次复数乘法及N(N-1)次复数加法。在这些运算中乘法运算要比加法运算复杂，需要的运算时间也多一些。因为复数运算实际上是由实数运算来完成的，这时DFT运算式可写成

由此可见，一次复数乘法需用四次实数乘法和二次实数加法；一次复数加法需二次实数加法。因而每运算一个X(k)需4N次实数乘法和2N+2(N-1)=2(2N-1)次实数加法。所以，整个DFT运算总共需要4N2次实数乘法和2N(2N-1)次实数加法。

当然，上述统计与实际需要的运算次数稍有出入，因为某些WNnk可能是1或j，就不必相乘了，例如W0N=1，WNＮ／２=-1，WNN/4=-j等就不需乘法。但是为了便于和其他运算方法作比较，一般都不考虑这些特殊情况，而是把WNnk都看成复数，当N很大时，这种特例的影响很小。
从上面的统计可以看到，直接计算DFT，乘法次数和加法次数都是和N2成正比的，当N很大时，运算量是很可观的，有时是无法忍受的。
例9-1根据式（9-1），对一幅N×N点的二维图像进行DFT变换，如用每秒可做10万次复数乘法的计算机，当N=1024时，问需要多少时间（不考虑加法运算时间）？
解直接计算DFT所需复乘次数为（N2)2≈1012次，因此用每秒可做10万次复数乘法的计算机，则需要近3000小时。
这对实时性很强的信号处理来说，要么提高计算速度，而这样，对计算速度的要求太高了。另外，只能通过改进对DFT的计算方法，以大大减少运算次数。
9.1.2改善途径
能否减少运算量，从而缩短计算时间呢？仔细观察DFT的运算就可看出，利用系数WＮnk的以下固有特性，就可减少运算量：
（1）WNnk的对称性

2）WNnk的周期性

（3）WNnk的可约性

另外

这样，利用这些特性，使DFT运算中有些项可以合并，并能使DFT分解为更少点数的DFT运算。而前面已经说到，DFT的运算量是与N2成正比的，所以N越小越有利，因而小点数序列的DFT比大点数序列的DFT的运算量要小。
快速傅里叶变换算法正是基于这样的基本思想而发展起来的。它的算法形式有很多种，但基本上可以分成两大类，即按时间抽取(ＤecimationinTime，缩写为DIT）法和按频率抽取（DecimationinＦrequency，缩写为DIF）法。
9.2按时间抽取（DIT）的FFT算法
9.2.1算法原理
设序列x(n)长度为N，且满足N=2M，M为正整数。按n的奇偶把x(n)分解为两个N/2点的子序列：
（9-4）

则可将DF