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第11卷第2期琼州大学学报2004年4月28日
Vol.11No.2JournalofQiongzhouUniversityApr.28.2004

反证法的逻辑原理及其在中学数学中的应用

陈人明
(五指山市五指山中学,海南五指山572200)

摘要:闹明反证法的逻辑原理,探索其在中学数学中的应用.
关键词:反证法;逻辑原理;应用
中图分类号:O141文献标识码:A文章编号:1008-6722(2004)02-0083-02

1.概念一般地,当证明命题时,不直接证明这个命题,而是把结论否定,作为论证的前提,并根据数学
中已知的真命题和推理规则推出与已知真命题或原命题的已知前提相矛盾的结论,或者导出自相矛盾的结
论,从而确定论题的真实性,这种方法叫做反证法.
2.反证法的逻辑原理
证明命题p→q,(或p∧r→q)则有四种逻辑等价式:
2.1)p→q≡q→p(证略),2.2)p→q≡(p∧q)→p
证:(p∧q)→p≡p∧q∨p≡(p∨q)∨p≡(p∨q)≡p→q
2.3)p→q≡(p∧q)→(r∧r)
证:(p∧q)→(r∧r)≡(p∧q)∨(r∧r)≡(p∨q)∨o≡p∨q≡p→q
2.4)(p∧q)→r≡(p∧r)→q
证:(p∧q)→r≡p∧q∨r≡p∨q∨r,(p∧r)→q≡p∧r∨q≡p∨r∨q
∴(p∧q)→r≡(p∧r)→q
以上四种逻辑等价式就是反证法的原理.反证法证题的一般步骤是:首先提出与命题的结论互不相容
的假设,再从这个假设出发一个不漏地加以论证,得出矛盾或自相矛盾的结论,然后由矛盾的不相容性判定
原命题的真实性.
3、应用例证
例1已知如图,弦AB、CD都不是直径,且相交于点P,求证:AB、CD不能
互相平分.
证:假设AB与CD互相平分,即PA=PB,PC=PD又∵AB,CD都不是直
径,
∴点P与圆心O不重合,故存在线段OP,连结OP,
∵PA=PB,∴OP⊥AB(平分弦的直径垂直于弦)

又PC=PD,∴OP⊥CD(同上)图1
这样,过点P有两条直线AB、CD都垂直于OP,这与过一点有且只有一条
直线与已知直线垂直的公理矛盾,故AB与CD不能互相平分.

例2如图:点C在弓形AmB上.C1和C在AB同侧,且∠AC1B=∠ACB.求证:点C1也在AmB上.

证:假设点C1不在AmB上.因为点C1和C在AB同侧,那么点C1或在AmB内或在AmB外.分二种情形:

1)当点C1在AmB内时,则:∠AC1B=∠ACB+∠1有:

收稿日期:2003-02-14
作者简介:陈人明(1959-),男,海南乐东人,五指山中学一级数学教师,琼州大学数学系兼职教师,主要从事中学数学
教材教法研究工作.
84琼州大学学报(第11卷)2004

∠AC1B>∠ACB,这和已知条件矛盾.

2)当点C1在AmB外时,则:∠ACB=∠AC1B+∠2有:∠AC1B<

∠ACB,也和已知条件矛盾.综上述:两种情形均不可能.故点C1在

AmB上.

评注:点C1和C在AB的同侧,只能出现三种情形:若点C1在

AmB内,有∠AC1B>∠ACB,矛循.若C1在AmB外,有∠AC1B<
图2
∠ACB,矛盾.故点C1必定在AmB上.
例3求证:若x、y∈R,则:COSx2+COSy2-COSxy<3.
证:假设COSx2+COSy2-COSxy≥3,(x、y∈R),分两种情形:
(1)当COSx2+COSy2-COSxy>3时,由于|COSx2|≤1,|COSy2|≤1,|COSxy|≤1
则:COSx2+COSy2-COSxy≤3,自相矛循.
(2)当COSx2+COSy2-COSxy=3时,因|COSa|≤1,可令:
222222
COSx=1,COSy=1,COSxy=-1解得:x=2K1π,y=2K2π,xy=(2K3+1)π,(K1,K2,K3,∈z)得xy

22
=4K1K2π,从而xy=±2πK1K2=(2k3+1)π,因此,K1K2=K3+K3+1P4,又因K1、K2、K3∈Z,得K1K2
2
也为整数,但K3+K3+1P4不是整数,自相矛盾.
综上述:COSx2+COSy2-COSxy<3.
例4把2110人分成128个小组,每组至少1人,证明:至少有5个小组的人数相同.
证:假设128个小组中,没有5个小组的人数相同.则至多有4个小组的人数相同.那么不同人数的小组
是:128÷4=32个,对32个小组,我们这样分组:有4个组每小组1人,有4个组每小组2人,有4个组每小组
3人,依法分组⋯⋯有4个组每小组32人,故有:4×(1+2+3+⋯⋯+32)=4×[32×(1+32)P2]=2112
(人).
这样2112-2110=2(人),多出2人.故以上多于1人或2人的某一个小组人数就减少1人或2人,