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函数及其图象
一、总述
函数及其图象是初中数学的重要内容。函数与许多知识有深刻的内在联系，关联着丰富的几何知识，又是进一步学习的基础，所以，以函数为背景的问题，题型多变，可谓函数综合题长盛不衰，实际应用题异彩纷呈，图表分析题形式多样，开放、探索题方兴未艾，函数在中考中占有重要的地位。
二、复习目标
1、理解平面直角坐标的有关概念，知道各象限及坐标轴上的点的坐标特征，能确定一点关于x轴、y轴或原点的对称点的坐标。
2、会从不同角度确定自变量的取值范围。
3、会用待定系数法求函数的解析式。
4、明确一次函数、二次函数和反比例函数的图象特征，知道图象形状、位置与解析式系数之间的关系。
5、会用一次函数和二次函数的知识解决一些实际问题。
一次函数
三、知识要点

图
像
性
质
二次函数
初等函数
函
数
概
念

反比例函数

综
合
运
用
解析式
定义
研究方法

平面直角坐标系
点的坐标特征

(一)平面直角坐标系中，x轴上的点表示为(x，0)；y轴上的点表示为(0，y)；坐标轴上的点不属于任何象限。
(二)一次函数
解析式：y=kx+b(k、b是常数，k≠0)，
当b=0时，是正比例函数。
(1)当k＞0时，y随x的增大而增大；
(2)当k＜0时，y随x的增大而减小。
(三)二次函数
1、解析式：
(1)一般式：y=ax2+bx+c(a≠0);
(2)顶点式：y=a(x–m)2+n，顶点为(m,n);
(3)交点式：y=a(x–x1)(x－x2)，与x轴两交点是(x1,0)，(x2,0)。
2、抛物线位置由a、b、c决定。
(1)a决定抛物线的开口方向：a＞0开口向上;a＜0开口向下。
(2)c决定抛物线与y轴交点的位置：
①c＞0图象与y轴交点在x轴上方；
②c＝0图象过原点；
③c＜0图象与y轴交点在x轴下方。
(3)a、b决定抛物线对称轴的位置，对称轴。
①a、b同号对称轴在y轴左侧；
②b=0对称轴是y轴；
③a、b异号对称轴在y轴右侧。
(4)顶点。
(5)△=b2－4ac决定抛物线与x轴交点情况：
①△＞0抛物线与x轴有两个不同交点；
②△＝0抛物线与x轴有唯一的公共点；
③△＜0抛物线与x轴无公共点。
(四)反比例函数
解析式：。
(1)k＞0时，图象的两个分支分别在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；
(2)k＜0时，图象的两个分支分别在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大.
四、例题选讲
例1．为预防“非典”，小明家点艾条以净化空气，经测定艾条点燃后的长度ycm与点燃时间x分钟之间的关系是一次函数，已知点燃6分钟后的长度为17.4cm，21分钟后的长度为8.4cm。
（1）求点燃10分钟后艾条的长度。
（2）点燃多少分钟后，艾条全部烧完。
解：（1）令y=k·x+b，

当x=6时，y=17.4，当x=21时y=8.4，则
解得
6k+b=17.4
21k+b=8.4

(2)艾条全部烧完，即y=0，
令，解得：x=35，
因此，点燃35分钟后艾条全部烧完。
例2．小明从斜坡O点处抛出网球，网球的运动曲线方程是，斜坡的直线方程是，其中y是垂直高度（米），x是与O点的水平距离（米）。
y
B
⑴网球落地时撞击斜坡的落点为A，A
求出A点的垂直高度，以及A点与O点的水平距离。
O
⑵求出网球所能达到的最高点的坐标。
x
分析:（1）∵A点的垂直高度就是点A的纵坐标，
A点与O点的水平距离就是点A的横坐标，而点A既在抛物线上又在直线上
∴只要解抛物线方程和直线方程联立的方程组，求得方程组的解即可。
（2）求最高点即抛物线顶点B的坐标，只要把抛物线方程改写成顶点式，或者用顶点坐标的公式即可求出。
解：(1)由方程组解得A点坐标（7，3.5），求得A点的垂直高度为3.5米，A点与O点的水平距离为7米。

例3若点(-2,y1),(-1,y2),(1,y3)都在反比例函数的图像上,则
y
(A)y1>y2>y3(B)y2>y1>y3(C)y3>y1>y2(D)y1>y3>y2
分析：∵函数的图像在第二、四象限，
1
O
-1
x
y随着x的增大而增大，又第二象限的的函数
值大于第四象限的函数值
∴y2>y1>y3，选(B)

例4.如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50米长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x米,
(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？
(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆
x
隔墙，要使鸡场的面积最大，鸡场的长应为
多少米？
解:(1)设鸡场的面积为y米2,则宽为米，
由题意得：，
即。
所以当x=25时，鸡场的面积最大。

由（1）（2）结果可得出：不论鸡场中间有几道墙，要使鸡场面积最大，它的总长等于篱笆总长的一半。
例5．