第五章 直线与平面的相对位置、两平面的相对位置.pdf

第五章直线与平面的相对位置、两平面的相对位置

§5-1直线与平面平行、两平面平行

一、直线与平面平行

直线与平面平行的判定规则是：若一直线平行于平
面上的一条直线，则直线与该平面平行（参见图5-1）。
[例5-1]判断直线AB与△LMN是否平行(见图
5-2)。
分析：在△LMN上任作一条辅助直线CD，使它的
正面投影c′d′∥a′b′,再求出水平投影cd。然后判断cd
与ab是否平行。若cd与ab平行,则直线AB平行于△

LMN；若cd与ab不平行,则直线AB不平行于△LMN。
图5-1直线与平面
作图步骤：
平行的条件
（1）在△LMN正面投影上作c′d′∥a′b′。
（2）求出水平投影cd，因cd与ab不平行，则可断定AB与△LMN不平行。

（a）（b）

5-2判别直线AB与△LMN是否平行
[例5-2]过A点作一正平线平行已知△BCD面（图5-3）。
分析：过平面外一点可作无数条直线平行该平面，但本题要作一正平线与△BCD平行，
所以在平面上与它平行的一定是平面上的正平线。
作图步骤：
（1）在△ABC面内作一条正平线DF（使它的水平投影df∥OX轴，并作出正面投影d′f′）。

1

（a）（b）

图5-3作直线与已知平面平行
（2）经过A点作直线AE∥DF（即作ae∥df和a′e′∥d′f′），AE即为所求。
二、两平面平行
两平面平行的判定规则是：若属于一平面上的相交两直线对应平行于属于另一平面的相
交两直线，则此两平面平行（见图5-4）。
[例5-3]试判断两已知平面ABC和DEF是否平行（图5-5）。

图5-4平面平行平面的示意图图5-5判断两平面是否平行

分析：先在ABC面上作两条相交直线（如在ABC上作水平线CM和正平线AN），然后在
DEF面上作两条相交直线（水平线DK和正平线EL），CM∥DK，AN∥EL，所以两平面平
行。如果在DEF面上作一条水平线（或正平线）不平行于ABC面上的水平线（或正平线）时，
就不必再作另一条线而可立即断定两已知平面ABC和DEF是不平行的。

2
作图步骤：
（1）在ABC上作水平线CM和正平线AN。
（2）在DEF面上作一条水平线DK，判断DK∥CM(dk∥cm，d′k′∥c′m′)，作一条正平
线EL判断EL∥AN（el∥an，e′l′∥a′n′）,由此可断定平面ABC和DEF是平行的。
[例5-4]AB与CD决定一平面，过K
点作一平面平行已知平面（图5-6）。
分析：过K点作一对相交直线只要平行
于已知平面的一对相交直线，所作的这对相
交直线便可表示所求的平面。
作图步骤：
(1)过K点作直线EF∥AB（ef∥ab，e′
f′∥a′b′）。
(2)在已知平面上任作一线MN，过K
点作直线GH∥MN（gh∥mn，g′h′∥m′n′）。图5-6作平面平行已知平面

§5-2直线与平面的交点、两平面的交线

一、直线与特殊位置平面相交、平面与特殊位置直线相交

直线与平面相交只有一个交点，它是直线和平面的共有点。它既属于直线又属于平面。
当直线或平面垂直于投影面时，它们在该投影面上的投影有积聚性，利用积聚性可以找
出交点、交线的一个投影，然后用直线上取点、平面上取点和线的作图方法求出交点、交线
的另一投影。
图5-7为直线MN与铅垂面△ABC相交的立体图。△ABC在水平投影面上的投影积聚成
一直线。交点K属于平面上的点，则它的水平投影一定属于平面的水平投影。但K点又属于
直线MN，它的水平投影必属于直线MN的水平投影。因此MN水平投影mn与abc的交点k，
便是交点K的水平投影。然后，在m′n′上找出对应于k的正面投影k′。点K（k,k′）即为
直线MN和△ABC的交点（见图5-8）。

3

图5-7直线与特殊位置平面的交点图5-8直线与特殊位置平面的交点

图5-9为铅垂线EF与一般位置平面△ABC相交。EF直线的水平投影有积聚性，交点K
又为平面上的点，可用面上取点的方法求出它的正面投影。所以，过K点的水平投影k作△
ABC面上的线AG的水平投影ag，再作出它的正面投影a′g′，即可找出k′，便可求出交点
K。

（a）立体图（b）投影图

图5-9铅垂线与一般位置平面相交

二、一般位置平面与特殊位置平面相交

4
两平面的交线是一直线，这一交线为两平面的共有线。要找这一直线的位置，只要找出
属于直线上的任意两点即可。
图5-10中，为求△ABC与△DEF的交线，
只要求出K和L两点就可以了，从图中可知K、
L分别是AC、BC与△DEF的交点。
△DEF是铅垂面，直线AC、BC与特殊位
置平面交点的求法在前面已作介绍，其作图过
程见图5-11（a），KL即为所求。
图5-11（b）表示△ABC和同一个铅垂面