不定方程x^3+2y^3—4z^3=0没有正整数解的一类推广.pdf

数学通讯一2o09年第1期(下半月)·专论荟萃·

不定方程z3+2y3—4z3=0没有正整数解的一类推广

邱树华邱泽慧
(湖北省老河El广播电视大学，441800)

数学通讯2007(1)最小数原理一文曾介绍特别地，当P=2，而，z=3，4时，应用定理
过：不定方程z+2y一4z。=0没有正整数1可得到如下结果：
解，受其启发，这里自然要问，下列不定方程：1)不定方程z+2y=4z没有正整数
(1)z+2一4z=0；(2)z+3y=9z等等解；
是否有正整数解．更一般的情况是，若P为质2)不定方程32+2y=4z没有正整数
!
数，7J≥3为正整数，则不定方程解．
”+”=pZz”(*)不难看出，这里1)即是不定方程0+2y

是否有正整数解?本文旨在借助于Fermat的一4z0=0没有正整数解，由此可见，本文定理1
无穷递降法证明不定方程(*)没有正整数解．乃是其推广定理．
定理1设P为质数，，z≥3为正整数，则与定理1的证明相仿的尚有下面的情况，
不定方程即是定理2与定理3：
+py'p2”①定理2设P为质数，≥3为正整数，则
没有正整数解．不定方程如”+p2=z”没有正整数解．
证明设①有正整数解，并设(，Y，z)=定理3设P为质数，≥3为正整数，则
(z1，Y1，1)是①的所有正整数解中最小的不定方程Pz”+ypz”没有正整数解．

一组解，则应用上面诸定理尚可得到如下结果：
I+=p21②定理4设P为质数，咒≥3为正整数，则
由②可知：PI-zI．PIz1，不定方程+P”I2Y”=P”z”没有正整数
令z1=肛2，贝0(px2)”+Py1=p22，同除解．
以P得：证明设原方程有正整数解(，Y，z)=
P”z+yl=pz③(l，Y1，21)，贝0I+p．-2I=P一z，乘以P
由③可知：PIy，．‘．PIy1，得：pZx+(Py1)”=P(pz1)”
令y1=Py2，贝0有p,~-2+p’=pz，同由此可知，不定方程p2z”+y”=pz”有正
除以P得：整数解，但这不可能，因它与定理3相矛盾，故
P”-2+p．-1=2④原方程没有正整数解．
定理5设P为质数，咒≥3为正整数，则
不定方程pn-2+P=z”没有正整数
由④可知：P1z，．‘．Plz1，
解．
令1=pz2，则有p,-z+P”I1=P”，
定理6设P为质数，，z≥3为正整数，则
同除以P”I2得：
不定方程P．72”+=P”z”没有正整数
z+=p2z⑤
解．
于是由⑤可得：不定方程
定理5与定理6的证明与定理4相仿．
”+PY”=p2①
又有一组正整数解(，Y，)=(．322，Y2，2)且
参考文献：
2C1<X[1]熊斌，周孺．最小数原理．数学通讯，2007(1)，
3g2=_1．但这不可能，因它与的最小性
相矛盾，因此，不定方程①没有正整数解．
(收稿日期：2008—06—03)