基于惩罚回归样条的积分近似计算与应用.pdf

第31卷第2期大学数学VoI．31，№．2

2015年4月COLLEGEMATHEMATICSApr．2015

基于惩罚回归样条的积分近似计算与应用

严恒普，杨联强，戴习民
(1．安徽大学数学科学学院，安徽合肥230601；2．合肥工业大学数学学院，安徽合肥230009)

[摘要]提出一种利用惩罚回归样条拟合被积函数厂(z)，从而计算复杂积分I厂(z)dx的新方法．在
J
仅知_厂(z)带随机扰动的离散数据点集的情况下，利用基于截断幂形式的样条基函数，通过惩罚样条回归，给
出函数的多项式拟合结果，再根据该多项式形式便捷计算出积分．模拟和实际应用结果显示该方法计算简单
快捷，并具有较好的准确度．
[关键词]惩罚样条；积分计算；回归
[中图分类号]O212．7[文献标识码]C[文章编号]1672—1454(2015)02005605

1引言

复杂积分的近似计算在实际应用中有着非常广泛的应用，其中有两类常见的问题．一类是函数
厂(-z)未知，但能收集到函数的离散数据点集(，Y)，其中Y；一．厂(z)+￡，￡是随机误差项，此时如何

r^gb一一一
求l厂(z)dx；另一类就是．厂(z)已知，但是无法求出原函数，例如Id．第二类问题由于已知函数
JnJn工
表达式，可以通过采集该函数的离散数据点集来转化为第一类问题．这类问题的研究在实际应用中是非
常有意义的，经济学中，在计算基尼系数时，需要计算位于洛伦茨曲线以下部分的面积；在物理学研究
中，变力做功，转动惯量的计算等涉及到此类问题．已有的研究结果中，王炜]给出了带光滑权函数的指

rb
数函数的估计，利用主项及余项估计法估计}g()P(_厂(z))dx；赵丽_2提出三次样条函数估计形式如
Jd

rh
同I厂()sinmxdx的高振荡的积分；陈新一利用微分中值定理中值点的渐近性给出了定积分一个估
J“
计式；刘亚锋导出了以高次曲线拟合定积分的计算公式；A．D．A1一Nassel_5提出了基于MonteCarlo
方法的一维积分估计．本文提出一种新的解决此类问题的方法，以截断幂基形式的惩罚样条对函数的离
散数据点集进行回归，给出被积函数的近似表达式，进而根据该表达式求出积分值．这种方法理论简单，
计算快捷，模拟结果显示准确度较高．最后我们还给出了一个应用实例．

2惩罚回归样条与积分计算

2．1惩罚样条回归
对于给定的离散数据点集(z，)，i一1，2，⋯，．有多种方法可以发掘其内在的函数关系
Y===f(x)+E，在以截断幂基样条函数为拟合工具情况下嘲，通常设

K

_厂(z)一po++⋯+z一+∑陬(～K)：，(1)
k=1

[收稿日期]2014—08一】1
[基金项目]国家自然科学基金(11026076)
第2期严恒普，等：基于惩罚回归样条的积分近似计算与应用57

其中一(po，卢，，⋯，，。，⋯，)为待估参数向量，K(K一1，2，⋯，)为选定的节点．节点选

取方法有多种，本文采用RuppertE6~建议，使用样本值的分位点作为结点，即结点K为的第

个分位点．
x一(1，z，⋯，Xp，(z—K)：，⋯，(z—K)：)称为样条截断幂基函数，(．z—K)：是一个分段
函数，
c{，
记
『1z⋯zf(一k)：⋯(z一k)：]
x一ji。．；；．iI1，
L1⋯zP(一k)：⋯(z～k)
Y一(1，2，⋯，Y)，D—diag[0~+，lm]，即D是由P+1个0和个1构成的对角矩阵．模型(1)的拟
合方法设为添加了惩罚项的广义最小二乘回归，目标函数为
l_j，一l}+Dlf，≥0，(2)
其中D卢称作惩罚项，其意义是控制拟合曲线对数据点的过度拟合现象，从而使得拟合曲线在拟合优
度与曲线总体光滑性之间达到一个良好的平衡，称为惩罚参数．
令L一(y-xp)(y-xp)+D，化简后
L—y'y一2X'y[J-[-fX+D卢，(3)

由=-2x+2x邵+2)—o，求得

一(x+)XY，(4)
[]@-t：ldia32L
一=X'X+AD，当x列满秩时，易知该矩阵为正定阵，所以(4)式的结果就是使得(3)式达到最

小值时的值．函数一厂(z)的拟合结果为
．)，一(z)一x．(5)
惩罚参数的取值是使得如下定义的GCV(generalizedCROSS—validation)得分取值最小的数值，
GC()一RSS()

其中RSS=E(一)为残差平方和，光滑矩阵s一x(x十)x，tr(S)为S的迹．

2．2积分计算
对于需要估计的积分』厂(z)dx，由(5)式，积分的近似计算可以表示如下：
州≈x一』+．．+卅砉z)：I

一fI(十+⋯+Xp)dz+奎∑I，声(x-K)二Idx．

3模拟

本节给出两个被积函数已知的实例来说明上节方法的应用，并观察计算结果．
例1