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一种新的判别分析方法
——模糊典型判别分析

内容提要：本文在Fisher典型判别分析基础上，把模糊理论引入判别分析方法，提出了模糊典型判别分析，可以用来处理自然科学和社会科学中很多模糊现象的判别分析。推导了模糊典型判别分析的参数求解，并提出了计算机可执行的算法。最后通过数值案例分析和其他判别方法比较，进一步证明了该方法具有很好的判别效果。

关键词：模糊理论；判别分析；算法
中图分类号：O212
文献标识码：A
ANewDiscriminantAnalysis—FuzzyCanonicalDiscriminantAnalysis
Abstract:ThispaperproposeFuzzyCanonicalDiscriminantAnalysisbasedonFisherCanonicalDiscriminantAnalysis,webringthefuzzytheoryintodiscriminantanalysisandapplyittodealwithmanyvaguenessinnaturalscineceandsocialscience.WealsoinfertheparametersestimationoftheFuzzyCanonicalDiscriminantAnalysisanddesignthecomputerfeasibleAlgorithm.Atlast,wefurtherprovethegoodperformanceofthismethodbynumericanalysis.

Keywords:FuzzyTheory;DiscriminantAnalysis;Algorithm

一、引言
判别分析是利用已知分类变量的样本数据构建判别函数，并对未知类型的对象进行预测的一种分类方法。设有个样本，对每个样本测得项指标（变量）的数据，已知每个样本属于个类别（或总体）中的某一类。我们希望利用这些数据，找出一种判别函数，使得这一函数具有某种最优性质，能把属于不同类别的样本点尽可能地区别开来，并对测得同样项指标（变量）数据的一个新样本，能判定这个样本归属于哪一类。判别分析在实际应用中非常广泛，比如财务危机分类预测、信用卡欺诈分类预测、市场营销的客户分类预测、石油勘探的波形分类预测、岩层分类预测等等。判别分析的方法很多，其中最常用最经典的是Fisher典型判别分析法，是由R.A.Fisher于1936年提出来的。虽然Fisher典型判别分析法能解决很多分类问题，但该方法在很多情况下判别精度相对较低，而且尤其是对于那些定义不是很明确，或者说存在模糊现象的判别精度过低，比如人的身高“高”和“矮”的分类；成绩的“好”和“坏”；天气的“冷”和“热”等的判别。实际上，在自然科学或社会科学研究中，存在着许多定义不很严格或者说具有模糊性的概念。模糊性同随机性一样也是一种不精确性，是事物本身所固有的特性。处理分析这些“模糊”概念的数据，很难用传统的数学和统计学去描述。
模糊理论最早是由美国加州大学伯克利分校电气工程系的L.A.zadeh教授在1965年提出的，开始用数学的观点来刻划模糊现象。自从模糊理论的提出，极大扩展了传统的明确数学（crispmathematics），可以用来描述模糊分类的不确定性。在明确数学里，一个对象对应于一个集合，要么属于，要么不属于，二者必居其一，且仅居其一，也就是一个对象的隶属度取值要么是1，要么是0，这样的集合论本身并无法处理具体的模糊概念。但是在模糊理论，摆脱了这种“非此即彼”的精确性，隶属度的取值是在[0,1]之间取任意值，反应了事物之间由于差异的中间过渡性所引起的划分上的不确定，而使得概念外延的不分明性，也就是“亦此亦彼”。
因此本文尝试在Fisher典型判别分析方法中引入模糊理论概念，提出了模糊典型判别分析方法，用来解决一些模糊现象的分类问题。用隶属度来度量第个观测值和第组的相似程度。在传统的判别分析里，的取值只能是0或1，但本文提出的模糊典型判别分析理论，可以取[0,1]的任一实数。比如等于0表示第个观测值完全不属于第组，假如等于1，表示第个观测值完全属于第组，假如等于0.5，表示第个观测值与第组的相似度为0.5。实际上，可以把传统的典型判别分析看做是模糊典型判别分析的特例。这样就可以处理很多模糊现象的分类问题。
本文接下来的结构安排如下：第二部分提出了模糊典型判别分析的基本理论框架；第三部分以分三类为例求解了模糊典型判别分析方法的参数，并设计了计算机可执行的算法；第四部分是数值案例分析，比较分析了Fisher典型判别分析方法与模糊典型判别分析方法的优劣；第五部分是小结与讨论。

二、模糊典型判别分析
Fisher判别法是R.A.Fisher于1936年提出来的，该方法的主要思想是通