大一高数上通用.ppt

第一章函数与极限§1.1函数几个数集:
R表示所有实数构成的集合，称为实数集。
Q表示所有有理数构成的集合，称为有理集。
Z表示所有整数构成的集合，称为整数集。
N表示所有自然数构成的集合,称为自然数集。
2.区间:[a,b)={x|ax<b}及(a,b]={x|a<xb}称为
半开区间。以下区间称为无限区间：3.邻域:
以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域，记作U(a)。
设>0，则称区间(a-,a+)为点a的邻域，记作U(a,)，即U(a,)={x|a-<x<a+}={x||x-a|<}。
其中点a称为邻域的中心,称为邻域的半径。还有一些量在过程中是变化着的，也就是可以取
不同的数值，这种量叫做变量。2.举例
圆的面积的计算公式为A=pr2，半径r可取(0,+)内的任意值。3.函数的定义
设D是一个给定的数集。如果对于每个数xD，变量y按照一定法则总有确定的数值和x对应，则称y是x的函数，记作y=f(x)。
定义中，数集D叫做这个函数的定义域，x叫做自变量，y叫做因变量。值域：Rf={y|y=f(x),xD}。4.函数的图形
在坐标系xOy内，集合
C={(x,y)|y=f(x)，xD}
所对应的图形称为函数y=f(x)的图形。如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。
以后凡是没有特别说明时，函数都是指单值函数。例2.函数y=2。
函数的定义域为D=(-,+)。
函数的值域为Rf={2}。
函数的图形为一条平行于x轴的直线。函数的定义域为D=(-,+)。
函数的值域为Rf=[0,+)。函数的定义域为D=(-,+)。
函数的值域为Rf={-1,0,1}。例5.函数y=[x]称为取整函数,任给x,[x]取值为不超过x的最大整数,即x-1<[x]≤x。函数的定义域为D=[0,1](1,+)=[0,+)。三、函数的几种简单特性如果存在数K2，使对任一xX，有f(x)K2，则称函数f(x)在X上有下界，而称K2为函数f(x)在X上的一个下界。有界函数的图形特点：
函数y=f(x)的图形在直线y=-M和y=M的之间。函数的有界性举例：O2.函数的单调性如果对于区间I上任意两点x1及x2，当
x1<x2时，恒有设函数f(x)的定义域D关于原点对称。如果对于任意的xD，有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。奇函数举例：
y=x3，
y=sinx
都是奇函数。设函数f(x)的定义域为D。如果存在一个不为零的数l，使得对于任一xD有(xl)D，且f(x+l)=f(x)，则称f(x)为周期函数，l称为f(x)的周期。
周期函数的图形特点：四、反函数与复合函数O在数学中，习惯上自变量用x表示，因变量用y表示。按此习惯，我们把函数y=f(x)的反函数x=f-1(y)改写成y=f-1(x)。例函数y=表示y是x的函数，它的定义域为
[-1，1]．

五、初等函数11常用的三角函数有：
正弦函数：y=sinx正切函数：y=tanx反三角函数是三角函数的反函数.反正切函数：y=arctanx,
定义域为(-，).其值域规定为(0，p)6．基本初等函数与初等函数一、数列的概念一、数列极限的概念数列：数列举例：数列的几何意义：例如

3.极限的精确定义：

证明：因为对于任意给定的e>0，存在N=[1/e]，
使当n>N时，有对于任意给定的e>0，要使所以

对于任意给定的正数e>0，

矛盾!数列的有界性：
对于数列{xn}，如果存在着正数M，使得对一切xn都满足不等式
|xn|M
则称数列{xn}是有界的；如果这样的正数M不存在，就说数列{xn}是无界的．证明：设数列{xn}收敛，且收敛于a．根据数列极
限的定义，对于，存在正整数N，使对于n>N时的
一切xn，不等式
|xn-a|<e=1
都成立．
于是，当n>N时，
|xn|=|(xn-a)+a||xn-a|+|a|<1+|a|．
取M=max{|x1|，|x2|，…,|xN|，1+|a|}，那么数列
{xn}中的一切xn都满足不等式
|xn|M．
这就证明了数列{xn}是有界的．3