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多步共轭辛算法与Krylov延迟修正高阶辛算法研究
多步共轭辛算法与Krylov延迟修正高阶辛算法研究
摘要：辛数值积分方法是求解哈密顿力学系统演化的一种高效有效的数值方法，近年来，在此方法的基础上，研究者们进行了多项拓展和改进，本文主要探讨了多步共轭辛算法和Krylov延迟修正高阶辛算法的研究进展和应用。
关键词：辛方法；多步共轭辛算法；Krylov延迟修正高阶辛算法
引言：辛数值积分方法是求解哈密顿力学系统演化的一种高效有效的数值方法，广泛应用于计算物理、计算化学、天体物理、生命科学等多个领域。辛方法是由Simmons（1963）和Forest和Ruth（1990）提出，通过保持哈密顿系统的辛结构和能量不变性，维持其长期演化的稳定性。由于辛方法具有精度高、能量守恒、长时间稳定等优点，近年来在相关领域应用日趋广泛，对于数值计算的准确性和效率提高了保证。
在初始的辛算法中，每个步骤是仅使用样品中的一项进行求解的，但它的一个主要局限是需要非常精细的取样，以便做出确切的模拟。但是，近年来有研究人员探索了使用更高阶、多步方法以及Krylov延迟修正来增加算法稳定性和更好的适应性。
一、多步共轭辛算法的研究
多步共轭辛算法是EdwardHairer于2006年提出的一种变形的辛算法。注意到，Hamilton系统在Poisson括号下是一个李群，其流形可以看作是一个流形剩余类。Hairer将Hamilton系统表示为一个确定的一阶微分方程和一阶代数方程，这可以看作是一种约束。Hairer将约束分离出来，然后再求解约束后的系统。Hairer提出了一种迭代方法来求解辅助变量，该方法可以在迭代次数较少的情况下获得较高精度的结果。
多步共轭辛算法是一种第s阶方法，使用s个样本来构建方程。每个步骤是通过使用加权平均而非单个采样点来计算的。这导致了更高的准确性和可靠性。此外，该算法可以使用具有不同精度的样本，从而可以选择使方法更加适应具体问题的样本。由于多步共轭辛算法具有高阶准确度和稳健性，因此该算法在Hamilton系统数值模拟中获得了广泛应用。
二、Krylov延迟修正高阶辛算法的研究
Krylov延迟修正高阶辛算法是一种新型的算法，于2011年由Lubich和Ostermann提出。该方法利用了外部Krylov子空间迭代和三步高阶辛算法。该算法的关键在于外部Krylov子空间的迭代，该空间的维度可以根据系统的复杂性自适应选择。在Krylov方法的迭代中，只有最简单的微分方程组需要求解，从而避免了计算上的复杂性。
Krylov延迟修正高阶辛算法与多步共轭辛算法有一些相似之处。它们都使用多个采样点来构建方程，以提高稳定性和准确性。但是，Krylov延迟修正高阶辛算法使用外部Krylov子空间迭代，以增加方法的适应性和灵活性。
三、应用举例
多步共轭辛算法和Krylov延迟修正高阶辛算法在多个领域中得到了广泛应用。例如，在计算物理领域，这些方法可以用于模拟两个物体之间的相互作用，如弹簧系统、摆锤等。在计算化学中，这些方法可以用于模拟与分子相关的运动，如化学反应、跃迁等。在天体物理中，这些方法可以用于模拟天体之间的作用，如行星运动、恒星形成过程等。此外，这些方法也可以用于生命科学中，用于模拟神经元间的相互作用以及疾病的传播。
结论：多步共轭辛算法和Krylov延迟修正高阶辛算法是辛算法在近年来的发展与拓展。这些方法通过使用更高阶、多步和延迟修正的方法，提高了系统模拟的稳定性和准确性，适应了更广泛的系统类型和复杂性。这些算法已经在计算物理、计算化学、天体物理、生命科学等领域得到了广泛应用，在未来的研究中，这些算法将继续得到改进和推广，以更好地应对更加复杂多变的系统演化问题。