2024年自考线性代数经管类笔记重点解析.doc

《线性代数（经管类）》考试笔记，重点解析
武汉大学出版社
第一章行列式
1.1行列式的定义
1.2行列式行(列)展开
1.3行列式的性质与计算
1.3克拉默法则
第二章矩阵
2.1线性方程组与矩阵的定义
2.2矩阵运算
2.3分阵的逆矩阵
2.4分块矩阵
2.5矩阵的初等变换与初等方阵
2.6矩阵的秩
2.7矩阵与线性方程组
第三章向量空间
3.1n维向量概念及其线性运算
3.2线性有关与线性无关
3.3向量组的秩
3.4向量空间
第四章线性方程组
4.1齐次线性方程组
4.2非齐次线性方程组
第五章特性值与特性向量
5.1特性值与特性向量
5.2方阵的相同变换
5.3向量内积和正交矩阵
5.4实对称矩阵的相同标准形
第六章实二次型
6.1实二次型及其标准形
6.2正这二次型和正定矩阵

第一部分行列式
本章概述

行列式在线性代数的考试中占很大的百分比。从考试大纲来看。虽然只占13%左右。但在其他章。的试题中都有必须用到行列式计算的内容。故这部分试题在试卷中所占百分比远不小于13%。
1.1行列式的定义
1.1.1二阶行列式与三阶行列式的定义
一、二元一次方程组和二阶行列式
例1.求二元一次方程组
的解。
解：应用消元法得

当初。得

同理得

定义称为二阶行列式。称为二阶行列式的值。
记为。
于是

由此可知。若。则二元一次方程组的解可表示为：

例2
二阶行列式的成果是一个数。我们称它为该二阶行列式的值。
二、三元一次方程组和三阶行列式
考虑三元一次方程组

希望适当选择。使得当后将消去。得一元一次方程

若，能解出

其中要满足

为解出。在（6），（7）的两边都除以得

这是以为未知数的二元一次方程组。

定义1.1.1在三阶行列式中，称

于是原方程组的解为;
类似地得
这就将二元一次方程组解的公式推广到了三元一次方程组。
例3计算

例4（1）
（2）

例5当x取何值时，？

为将此成果推广到n元一次方程组。需先将二阶、三阶行列式推广到n阶行列式。
1.1.2阶行列式的定义
定义1.1.2当n时，一阶行列式就是一个数。当初，称

为n阶行列式。

定义（其所在的位置可记为的余子式

的代数余子式。
定义为该n阶行列式的值。即
。
轻易看出，第j列元素的余子式和代数余子式都与第j列元素无关；类似地，第i行元素的余子式和代数余子式都与第i行元素无关。n阶行列式为一个数。
例6求出行列式第三列各元素的代数余子式。

例7（上三角行列式）

1.2行列式按行（列）展开
定理1.2.1（行列式按行（列）展开定理）

例1下三角行列式＝主对角线元素的乘积。

例2计算行列式

例3求n阶行列式

小结
1.行列式中元素的余子式和代数余子式的定义。
2.二阶行列式的定义。
3.阶行列式的定义。即。
4.行列式按行（列）展开的定理和应用这个定理将行列式降阶的措施。
1.3行列式的性质及计算
1.3.1行列式的性质
给定行列式

将它的行列互换所得的新行列式称为D的转置行列式，记为或。

性质1转置的行列式与原行列式相等。即

性质2用数k乘行列式D的某一行（列）的每个元素所得的新行列式等于kD。

推论1若行列式中某一行（列）的元素有公因数，则可将公因数提到行列式之外。
推论2若行列式中某一行（列）的元素全为零，则行列式的值为0。
性质3行列式的两行（列）互换，行列式的值变化符号。
以二阶为例
设

推论3若行列式某两行（列），完全相同，则行列式的值为零。
证设中，第i行与第j行元素完全相同，则

因此，D=0。
性质4若行列式某两行（列）的对应元素成百分比，则行列式的值为零。

性质5若行列式中某一行（列）元素可分解为两个元素的和，则行列式可分解为两个行列式的和，即

只要看

注意性质中是指某一行（列）而不是每一行。

可见
性质6把行列式的某一行（列）的每个元素都乘以加到另一行（列），所得的行列式的值不变。
证

.

1.3.2行列式的计算
人们认识事物的基本措施是化未知为已知。
对行列式，先看何为已知，（1）二，三阶行列式的计算；（2）三角形行列式的计算。
因此，我们计算行列式的基本措施是利用行列式的性质把行列式化为三角形，或降阶。
例1计算

在行列式计算中怎样造零是个重要技巧，重要是应用性质6。
例2计算

例3计算

例4计算

例5计算

扩展
计算

例6计算
措施1

措施2

扩展：计算
例7计算

例8计算

扩展：计算
例9计算n阶行列式

解按第一列展开，得
例10范德蒙行列式……

.

例11计算

例12证明

小结
1.准确论述行列式的性质；

2.应用行列式的性质计算行列式的措施
（1）低阶的数字行列式和简单的文字行列式；
（2）各行元素之和为相同的值的情况