蒙特卡洛方法概述.ppt

第一章蒙特卡罗方法概述第一章蒙特卡罗方法概述蒙特卡罗方法的基本思想例1.蒲丰氏问题
一些人进行了实验，其结果列于下表：例2.射击问题（打靶游戏）
现假设该运动员进行了Ｎ次射击，每次射击的弹着点依次为r1，r2，…，rN，则Ｎ次得分g(r1)，g(r2)，…，g(rN)的算术平均值

代表了该运动员的成绩。换言之，为积分<g>的估计值，或近似值。
在该例中，用Ｎ次试验所得成绩的算术平均值作为数学期望<g>的估计值（积分近似值）。基本思想因此，可以通俗地说，蒙特卡罗方法是用随机试验的方法计算积分，即将所要计算的积分看作服从某种分布密度函数f(r)的随机变量ｇ(r)的数学期望

通过某种试验，得到Ｎ个观察值r1，r2，…，rN（用概率语言来说，从分布密度函数f(r)中抽取Ｎ个子样r1，r2，…，rN，），将相应的Ｎ个随机变量的值g(r1)，g(r2)，…，g(rN)的算术平均值

作为积分的估计值（近似值）。为了得到具有一定精确度的近似解，所需试验的次数是很多的，通过人工方法作大量的试验相当困难，甚至是不可能的。因此，蒙特卡罗方法的基本思想虽然早已被人们提出，却很少被使用。本世纪四十年代以来，由于电子计算机的出现，使得人们可以通过电子计算机来模拟随机试验过程，把巨大数目的随机试验交由计算机完成，使得蒙特卡罗方法得以广泛地应用，在现代化的科学技术中发挥应有的作用。计算机模拟试验过程例１．蒲丰氏问题如何产生任意的（x,θ）？x在［0，a］上任意取值，表示x在［0，a］上是均匀分布的，其分布密度函数为：

类似地，θ的分布密度函数为：

因此，产生任意的（x,θ）的过程就变成了由f1(x)抽样x及由f2(θ)抽样θ的过程了。由此得到：

其中ξ1，ξ2均为（0,1）上均匀分布的随机变量。每次投针试验，实际上变成在计算机上从两个均匀分布的随机变量中抽样得到（x,θ），然后定义描述针与平行线相交状况的随机变量s(x,θ)，为

如果投针Ｎ次，则

是针与平行线相交概率Ｐ的估计值。事实上，

于是有例２．射击问题蒙特卡罗方法的收敛性，误差收敛性误差当N充分大时，有如下的近似式

其中α称为置信度，1－α称为置信水平。

这表明，不等式近似地以概率

1－α成立，且误差收敛速度的阶为。
通常，蒙特卡罗方法的误差ε定义为

上式中与置信度α是一一对应的，根据问题的要求确定出置信水平后，查标准正态分布表，就可以确定出。下面给出几个常用的α与的数值：

关于蒙特卡罗方法的误差需说明两点：第一，蒙特卡罗方法的误差为概率误差，这与其他数值计算方法是有区别的。第二，误差中的均方差σ是未知的，必须使用其估计值

来代替，在计算所求量的同时，可计算出。减小方差的各种技巧效率蒙特卡罗方法的特点能够比较逼真地描述具有随机性质的事物的特点及物理实验过程受几何条件限制小收敛速度与问题的维数无关具有同时计算多个方案与多个未知量的能力误差容易确定程序结构简单，易于实现收敛速度慢误差具有概率性在粒子输运问题中，计算结果与系统大小有关蒙特卡罗方法的主要应用范围作业第二章随机数第二章随机数随机数的定义及产生方法随机数的定义及性质由于随机数在蒙特卡罗方法中占有极其重要的位置，我们用专门的符号ξ表示。由随机数序列的定义可知，ξ1，ξ2，…是相互独立且具有相同单位均匀分布的随机数序列。也就是说，独立性、均匀性是随机数必备的两个特点。
随机数具有非常重要的性质：对于任意自然数s，由s个随机数组成的s维空间上的点（ξn+1，ξn+2，…ξn+s）在s维空间的单位立方体Gs上均匀分布，即对任意的ai，

如下等式成立：
其中P(·)表示事件·发生的概率。反之，如果随机变量序列ξ1,ξ2…对于任意自然数s，由s个元素所组成的s维空间上的点（ξn+1，…ξn+s）在Gs上均匀分布，则它们是随机数序列。
由于随机数在蒙特卡罗方法中所处的特殊地位，它们虽然也属于由具有已知分布的总体中产生简单子样的问题，但就产生方法而言，却有着本质上的差别。随机数表物理方法因此，利用物理方法在计算机上产生随机数，就是要产生只取0或1的随机数字序列，数字之间相互独立，每个数字取0或1的概率均为0.5。
用物理方法产生的随机数序列无法重复实现，不能进行程序复算，给验证结果带来很大困难。而且，需要增加随机数发生器和电路联系等附加设备，费用昂贵。因此，该方法也不适合在计算机上使用。伪随机数伪随机数伪随机数存在的两个问题由于这两个问题的存在，常称用数学方法产生的随机数为伪随机数。对于以上存在的两个问题，作如下具体分析。
关于第一个问题，不能从本质上加以改变，但只要递推公式选得比较好，随机数间的相互独立性是可以近似满足的。至于第二个问题，则不是本质的。因为用蒙特卡罗方法解任何具体问题时，所使用的随