系统的稳定性和代数稳定判据.ppt

3.5系统的稳定性和代数稳定判据设系统或元件的微分方程为：线性定常系统稳定的充要条件：对有界输入—有界输出稳定系统可看作当输入有界(如阶跃输入)时，第一项在足够长的时间内输出有界并趋于有限值。
其单位阶跃响应函数为：3.5系统的稳定性和代数稳定判据定理1：线性定常系统渐近稳定的充要条件为系统的全部特征根都位于s左半开平面，即系统的特征方程的根全为负实数或具有负实部的共轭复根。

定理2：线性定常系统为有界输入——有界输出稳定系统的充要条件为系统的全部极点都位于s左半开平面。如果特征方程中有一个正实根，它所对应的指数项将随时间单调增长；
如果特征方程中有一对实部为正的共轭复根，它的对应项是发散的周期振荡。
上述两种情况下系统是不稳定的。
如果特征方程中有一个零根，它所对应于一个常数项，系统可在任何状态下平衡，称为随遇平衡状态；
如果特征方程中有一对共轭虚根，它对应于等幅的周期振荡，称为临界平衡状态（或临界稳定状态）。对于一阶系统，只要都大于零，系统是稳定的。二、劳思—赫尔维茨稳定性判据以下各项的计算式为：
由该项元素前两行的第一列和后一列构成的行列式取负值再除以上一行第一列元素。依次类推。可求得[例]：特征方程为：，试判断稳定性。特殊情况下劳斯阵列的列写及结论：劳思阵某一行第一列系数为零，而其余系数不全为零。劳斯阵某行系数全为零的情况。表明特征方程具有大小相等而位置径向相反的根。至少要下述几种情况之一出现，如：大小相等，符号相反的一对实根，或一对共轭虚根，或对称于虚轴的两对共轭复根。[例]：3.5系统的稳定性和代数稳定判据以4阶系统为例使用赫尔维茨判据：系统稳定的充要条件[林纳特-戚伯特(Lienard-Chipard)定理]：
若
或，则系统稳定。（三）劳斯-赫尔维茨稳定性判据的应用[例3-5]：系统的特征方程为：试用胡尔维茨定理判稳。[例3-6]系统的特征方程为：该系统稳定吗？求出每一个极点并画出极点分布图。设剩余的一个根为-p。则：，整理得：分析系统参数变化对稳定性的影响劳斯阵：利用实部最大的特征方程的根p（若稳定的话，它离虚轴最近）和虚轴的距离表示系统稳定裕量。[例]已知系统的结构图，为使系统特征方程的根的实数部分不大于-1，试确定k值的取值范围。讨论相对稳定性除了考虑极点离虚轴远近外，还要考虑共轭极点的振荡情况。对于共轭极点，其实部反映响应的衰减快慢，虚部反映响应的振荡情况。对于极点，对应的时域响应为。所以，越小，衰减越慢，越大，振荡越激烈。如下图示意：三、结构不稳定系统
及其改进措施闭环传递函数为：由图可看出，造成系统结构不稳定的原因是前向通路中有两个积分环节串联，而传递函数的分子只有增益K。这样，造成系统闭环特征方程缺项，即s一次项系数为零。
因此，消除结构不稳定的措施可以有两种，一是改变积分性质；二是引入开环零点，补上特征方程中的缺项。⑴改变积分性质：用反馈包围积分环节，破坏其积分性质。⑵速度反馈闭环传递函数为：[例]：倒立摆系统稳定性分析线性系统稳定的充要条件
劳斯代数稳定性判据（劳斯阵，各种特殊情况下劳斯阵的排列和判稳方法）
劳斯-赫尔维茨稳定性判据的应用
—判稳
—系统参数变化对稳定性的影响
—系统的相对稳定性
结构不稳定系统及其改进措施