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高中数学浅淡赋值法在抽象函数中的应用

我们把未给出具体解析式的函数称为抽象函数。这种函数表现形式的抽象性，使得直接求解析式比较难。解决这类函数可以通过化抽象为具体的方法，即赋予恰当的数值或代数式，经过恰当的运算和推理加以解决。下面分类举例加以说明。

一、判断函数的奇偶性
例1.若对于任意实数x，y均成立，且f(x)不恒为0，请判断函数f(x)的奇偶性。
解：令则有，故有
令，则有，故有，又因为不恒为0，所以函数f(x)是奇函数。

例2.已知函数为非零函数，若有，试判断函数的奇偶性。
解：令，则有，故有
令，则有，故有
令，则有，且为非零函数，所以函数是偶函数。

二、判断函数的单调性
例3.函数，当时，，且对任何实数x，y恒有，试判断函数的单调性。
解：令，则有，故有
又有
当时，，当时，，故有，而，故有。
又当x＝0时，，故对于任何，有。
令，
故
所以函数是减函数。

三、判断函数的周期性
例4.函数，对任何实数a、b恒有，且存在常数，使，求证：为周期函数。
证明：令，
则
即
又
所以函数是周期函数，最小正周期为2c。

四、求函数的解析式
例5.设x≠0，函数满足，求函数的解析式。
解：由题意知
用x换代入上式得：
则①×2－②得：
所以

五、求函数的值域
例6.函数为增函数，且满足，求函数的值域。
解：令，则有。
①当时，不妨令，
则有

故当。
②当时，有
有
故当时，有
所以当时函数的值域为R。

［练一练］
若对常数m和实数，等式恒成立，求证：函数是周期函数。
提示：，
。