内蒙古伊图里河高级中学高三数学复习 函数与方程、函数的应用.doc

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内蒙古伊图里河高级中学高三数学复习：函数与方程、函数的应用
主干知识整合
1．函数的零点
方程的根与函数的零点的关系：由函数的零点的定义可知，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．所以，方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
2．二分法
用二分法求函数零点的一般步骤：
第一步：确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；
第二步：求区间[a，b]的中点c；
第三步：计算f(c)：
(1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
(2)若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；
(3)若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))；
(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．
3．函数模型
解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是：(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转译成实际问题作出解答．

要点热点探究

探究点一函数的零点和方程根的分布
例1(1)[2011·天津卷]对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a－b≤1，,b，a－b>1.))设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－x2)，x∈R，若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是()
A．(－∞，－2]∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2)))
B．(－∞，－2]∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,4)))
C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞))
D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞))
(2)[2011·山东卷]已知函数f(x)＝logax＋x－b(a＞0，且a≠1)．当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________.

(1)B(2)2
【解析】(1)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2，x2－2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－x2))≤1，,x－x2，x2－2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－x2))>1))
＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2，－1≤x≤\f(3,2)，,x－x2，x<－1，或x>\f(3,2)，))
则f(x)的图象如图．

∵y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，
∴y＝f(x)与y＝c的图象恰有两个公共点，
由图象知c≤－2，或－1<c<－eq\f(3,4).
(2)本题考查对数函数的单调性与函数零点定理的应用．因为2<a<3，所以loga2<1＝logaa<loga3，因为3<b<4，所以b－2>1>loga2，b－3<1<loga3，所以f(2)·f(3)＝(loga2＋2－b)(loga3＋3－b)<0，所以函数的零点在(2,3)上，所以n＝2.

【点评】函数的零点、方程的根，都可以转化为函数图象与x轴的交点，数形结合法是解决函数零点、方程根的分布、零点个数、方程根的个数的一个有效方法．在解决函数零点问题时，既要注意利用函数的图象，也要注意根据函数的零点存在定理、函数的性质等进行相关的计算，把数与形紧密结合起来．
变式题：已知函数f(x)＝eq\f(1,2)x2－alnx(a∈R)．
(1)若函数f(x)在x＝2处的切线方程为y＝x＋b，求a，b的值；
(2)讨论方程f(x)＝0解的个数，并说明理由．
【解答】(1)因为f′(x)＝x－eq\f(a,x)(x>0)，
又f(x)在x＝2处的切线方程为y＝x＋b，
所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－aln2＝2＋b，,2－\f(a,2)＝1