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等差数列·例题解析

【例1】在100以内有多少个能被7个整除的自然数？
解∵100以内能被7整除的自然数构成一个等差数列，其中a1=7，d＝7，an＝98．
代入an＝a1＋(n－1)d中，有
98＝7＋(n－1)·7
解得n＝14
答100以内有14个能被7整除的自然数．
【例2】在－1与7之间顺次插入三个数a，b，b使这五个数成等差数列，求此数列．
解设这五个数组成的等差数列为{an}
由已知：a1＝－1，a5＝7
∴7＝－1＋(5－1)d解出d＝2
所求数列为：－1，1，3，5，7．

插入一个数，使之组成一个新的等差数列，求新数列的通项．

【例4】在[1000，2000]内能被3整除且被4除余1的整数共有多少个？
解设an=3n，bm＝4m－3，n，m∈N

得n＝4k－1(k∈N)，得{an}，{bm}中相同的项构成的数列{cn}的通项cn＝12n－3(n∈N)．
则在[1000，2000]内{cn}的项为84·12－3，85·12－3，…，166·12－3
∴n＝166－84＋1=83∴共有83个数．
【例5】三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数．
解设三个数分别为x－d，x，x＋d．

解得x＝5，d＝±2
∴所求三个数为3、5、7或7、5、3
说明注意学习本题对三个成等差数列的数的设法．
【例6】已知a、b、c成等差数列，求证：b＋c，c＋a，a＋b也成等差数列．
证∵a、b、c成等差数列
∴2b=a＋c
∴(b＋c)＋(a＋b)＝a＋2b＋c
＝a＋(a＋c)＋c
＝2(a＋c)
∴b＋c、c＋a、a＋b成等差数列．
说明如果a、b、c成等差数列，常化成2b＝a＋c的形式去运用；反之，如果求证a、b、c成等差数列，常改证2b=a＋c．本例的意图即在让读者体会这一点．

可能是等差数列．
分析直接证明a、b、c不可能是等差数列，有关等差数列的知识较难运用，这时往往用反证法．
证假设a、b、c是等差数列，则2b=a＋c

∴2ac＝b(a＋c)=2b2，b2＝ac．
又∵a、b、c不为0，
∴a、b、c为等比数列，
又∴a、b、c为等差数列，
∴a、b、c为常数列，与a≠b矛盾，
∴假设是错误的．
∴a、b、c不可能成等差数列．
【例8】解答下列各题：
(1)已知等差数列{an}，an≠0，公差d≠0，求证：
①对任意k∈N，关于x的方程
akx2＋2ak+1x＋ak+2＝0有一公共根；

分析与解答
(1)akx2＋2ak+1x＋ak+2＝0
∵{an}为等差数列，∴2ak+1＝ak＋ak+2
∴akx2＋(ak＋ak+2)x＋ak+2＝0
∴(akx＋ak+2)(x＋1)=0，ak≠0

∵{an}为等差数列，d为不等于零的常数

(2)由条件得2b=a＋c
∴4RsinB＝2RsinA＋2RsinC，2sinB＝sinA＋sinC

分析至此，变形目标需明确，即要证

由于目标是半角的余切形式，一般把切向弦转化，故有

【例9】若正数a1，a2，a3，…an+1成等差数列，求证：

证明设该数列的公差为d，则
a1－a2=a2－a3＝…＝an－an+1=－d
∴a1－an+1=－nd

∴原等式成立．
【例10】设x≠y，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，