2013高三数学例题精选精练2.12.doc

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2013高三数学例题精选精练2.12
一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)
1．函数f(x)＝2x4－3x2＋1在区间[eq\f(1,2)，2]上的最大值和最小值分别是()
A．21，－eq\f(1,8)B．1，－eq\f(1,8)
C．21,0 D．0，－eq\f(1,8)
答案：A
2．函数f(x)＝1＋x－sinx在(0,2π)上是()
A．增函数
B．减函数
C．在(0，π)上增，在(π，2π)上减
D．在(0，π)上减，在(π，2π)上增
解析：f′(x)＝1－cosx>0，∴f(x)在(0,2π)上递增．
答案：A
3．f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的图象最有可能的是图中的()

解析：∵x∈(－∞，－2)∪(0，＋∞)时f′(x)<0，
∴在(－∞，－2)和(0，＋∞)上f(x)是减函数，排除B、C、D.
答案：A
4．函数f(x)＝x3＋3x2＋4x－a的极值点的个数是()
A．2 B．1
C．0 D．由a确定
解析：f′(x)＝3x2＋6x＋4＝3(x＋1)2＋1>0，则f(x)在R上是增函数，故不存在极值点．
答案：C
5．已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数，则a的最大值是()
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：f′(x)＝3x2－a≥0在[1，＋∞)上恒成立，
即：a≤3x2在[1，＋∞)上恒成立，而(3x2)min＝3×12＝3.
∴a≤3，故amax＝3.
答案：D
6．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意正数a，b，若a<b，则必有()
A．af(b)≤bf(a) B．bf(a)≤af(b)
C．af(a)≤f(b) D．bf(b)≤f(a)
解析：∵xf′(x)＋f(x)≤0，
又f(x)≥0，∴xf′(x)≤－f(x)≤0，
设y＝eq\f(fx,x)，则y′＝eq\f(xf′x－fx,x2)≤0，
故y＝eq\f(fx,x)为减函数或常函数．
又a<b，∴eq\f(fa,a)≥eq\f(fb,b)，
而a，b>0，则af(b)≤bf(a)．
答案：A
二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)
7．函数f(x)＝eq\f(1,2)x2－lnx的最小值为________．
解析：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′x＝x－\f(1,x)>0，,x>0，))得x>1，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′x<0，,x>0，))得0<x<1.
∴f(x)在x＝1时取最小值f(1)＝eq\f(1,2)－ln1＝eq\f(1,2).
答案：eq\f(1,2)
8．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，则f(2)＝________.
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
由题意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝10，,f′1＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋a＋b＋a2＝10，,3＋2a＋b＝0，))
得a＝4或a＝－3.
但当a＝－3时，f′(x)＝3x2－6x＋3≥0，故不存在极值，
∴a＝4，b＝－11，f(2)＝18.
答案：18
9．给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′.若f″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在(0，eq\f(π,2))上不是凸函数的是________．(把你认为正确的序号都填上)
①f(x)＝sinx＋cosx；②f(x)＝lnx－2x；
③f(x)＝－x3＋2x－1；④f(x)＝xex.
解析：对于①，f″(x)＝－(sinx＋cosx)，x∈(0，eq\f(π,2))时，
f″(x)<0恒成立；
对于②，f″(x)＝－eq\f(1,x2)，在x∈(0，eq\f(π,2))时，f″(x)<0恒成立；
对于③，f″(x)＝－6x，在x∈(0，eq\f(π,2))时，f″(x)<0恒成立；
对于④，f″(x)＝(2＋x)·ex在x∈(0，eq\f(π,2))时f″(x)>0恒成立，
所以f(x)＝xex不是凸函数．
答案：④
三、解答题(共3小题，满分35分)
10．已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2