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§9.5两个向量的数量积
教学目的：
⒈掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；
⒉掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；
⒊掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题．
教学重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用．
教学难点：两个向量数量积的几何意义．
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量
注：⑴空间的一个平移就是一个向量
⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量
⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示
2．空间向量的运算
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下;;
运算律：⑴加法交换律：
⑵加法结合律：
⑶数乘分配律：
3．平行六面体：
平行四边形ABCD平移向量到的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD－它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱
4.平面向量共线定理
方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．
向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使＝λ.
要注意其中对向量的非零要求．
5共线向量
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作．
当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．
6．共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//的充要条件是存在实数λ，使＝λ.
推论：如果为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对于任意一点O，点P在直线上的充要条件是存在实数t满足等式
．其中向量叫做直线的方向向量.
空间直线的向量参数表示式：
或，
中点公式．
7．向量与平面平行：已知平面和向量，作，如果直线平行于或在内，那么我们说向量平行于平面，记作：．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量
说明：空间任意的两向量都是共面的
8．共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使
推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使①或对空间任一点，有②
或③
上面①式叫做平面的向量表达式
9空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使
若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底
推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使
二、讲解新课：
1空间向量的夹角及其表示：
已知两非零向量，在空间任取一点，
作，则叫做向量
与的夹角，记作；
规定，显然有；
若，则称与互相垂直，记作：.
2．向量的模：
设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：.
3．向量的数量积：
已知向量，则叫做的数量积，记作，即．
已知向量和轴，是上与同方向的单位向量，作点在上的射影，作点在上的射影，则叫做向量在轴上或在上的正射影.
可以证明的长度．
4．空间向量数量积的性质：
（1）．
（2）．
（3）．
5．空间向量数量积运算律：
（1）．
（2）（交换律）．
（3）（分配律）．

三、讲解范例：
例1用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理
已知：是平面内的两条相交直线，直线与平面的交点为，且
求证：．
证明：在内作不与重合的任一直线，
在上取非零向量，
∵相交，
∴向量不平行，由共面定理可知，
存在唯一有序实数对，使，
∴，又∵，
∴，∴，∴，
所以，直线垂直于平面内的任意一条直线，即得．
例2．已知空间四边形中，，，求证：．
证明：（法一）

．
（法二）选取一组基底，设，
∵，∴，即，
同理：，∴，
∴，∴，即．
说明：用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算取计算或证明
例3．如图，在空间四边形中，，，，，，，求与的夹角的余弦值

解：∵，
∴

∴，
所以，与的夹角的余弦值为．
说明：由图形知向量的夹角时易出错，如易错写成，切记！
四、课堂练习：
1．已知向量，向量与的夹角都是，且，
试求：（1）；（2）；（3）．
解：∵向量，向量与的夹角都是，且，
∴
（1）；
（2）=
＝1+16+9+0-3-12=11；
（3）=＝0--8+18=
2.已知线段AB、BD在平面内，BDAB，线段AC，如果AB=a,BD=b,AC=c,求C、D间的距离.
解：∵，,
∴，又∵,
∴，,
∴=.
∴.
五、小结：由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义、取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号