高考数学竞赛 几个初等函数的性质教案讲义（4）.doc

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第四章几个初等函数的性质
一、基础知识
1．指数函数及其性质：形如y=ax(a>0,a1)的函数叫做指数函数，其定义域为R，值域为（0，+∞），当0<a<1时，y=ax是减函数，当a>1时，y=ax为增函数，它的图象恒过定点（0，1）。
2分数指数幂：。
3．对数函数及其性质：形如y=logax(a>0,a1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+∞），值域为R，图象过定点（1，0）。当0<a<1，y=logax为减函数，当a>1时，y=logax为增函数。
4．对数的性质（M>0,N>0）；
1）ax=Mx=logaM(a>0,a1)；
2）loga(MN)=logaM+logaN；
3）loga（）=logaM-logaN；4）logaMn=nlogaM；，
5）loga=logaM；6）alogaM=M;7)logab=(a,b,c>0,a,c1).
5.函数y=x+（a>0）的单调递增区间是和，单调递减区间为和。（请读者自己用定义证明）
6．连续函数的性质：若a<b,f(x)在[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
则f(x)=0在（a,b）上至少有一个实根。
二、方法与例题
1．构造函数解题。
例1已知a,b,c∈(-1,1)，求证：ab+bc+ca+1>0.

例2（柯西不等式）若a1,a2,…,an是不全为0的实数，b1,b2,…,bn∈R，则（）·（）≥()2，等号当且仅当存在R，使ai=,i=1,2,…,n时成立。

例3设x,y∈R+,x+y=c,c为常数且c∈(0,2]，求u=的最小值。

2．指数和对数的运算技巧。
例4设p,q∈R+且满足log9p=log12q=log16(p+q)，求的值。

例5对于正整数a,b,c(a≤b≤c)和实数x,y,z,w，若ax=by=cz=70w，且，求证：a+b=c.

例6已知x1,ac1,a1,c1.且logax+logcx=2logbx，求证c2=(ac)logab.

例7解方程：3x+4x+5x=6x.

例8解方程组：（其中x,y∈R+）.

例9已知a>0,a1，试求使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的k的取值范围。

三、基础训练题
1．命题p:“(log23)x-(log53)x≥(log23)-y-(log53)-y”是命题q:“x+y≥0”的_________条件。
2．如果x1是方程x+lgx=27的根，x2是方程x+10x=27的根，则x1+x2=_________.
3．已知f(x)是定义在R上的增函数，点A（-1，1），B（1，3）在它的图象上，y=f-1(x)是它的反函数，则不等式|f-1(log2x)|<1的解集为_________。
4．若log2a<0，则a取值范围是_________。
5．命题p:函数y=log2在[2，+∞）上是增函数；命题q:函数y=log2(ax2-4x+1)的值域为R，则p是q的_________条件。
6．若0<b<1,a>0且a1，比较大小：|loga(1-b)|_________|loga(1+b).
7．已知f(x)=2+log3x,x∈[1,3]，则函数y=[f(x)]2+f(x2)的值域为_________。
8．若x=，则与x最接近的整数是_________。
9．函数的单调递增区间是_________。
10．函数f(x)=的值域为_________。
11．设f(x)=lg[1+2x+3x+…+(n-1)x+nx·a]，其中n为给定正整数,n≥2,a∈R.若f(x)在x∈(-∞,1]时有意义，求a的取值范围。
12．当a为何值时，方程=2有一解，二解，无解？
四、高考水平训练题
1．函数f(x)=+lg(x2-1)的定义域是_________.
2．已知不等式x2-logmx<0在x∈时恒成立，则m的取值范围是_________.
3．若x∈{x|log2x=2-x}，则x2,x,1从大到小排列是_________.
4.若f(x)=ln，则使f(a)+f(b)=_________.

5.命题p:函数y=log2在[2，+∞）上是增函数；命题q：函数y=log2(ax2-4x+1)的值域为R，则p是q的_________条件.
6．若0<b<1,a>0且a1，比较大小：|loga(1-b)|_________|loga(1+b)|.
7．已知f(x)=2+log3x,x∈[1,3]，则函数y=[f(x)]2+f(x2)的值域为______