江苏省南通市2013届高三第一次调研考试数学试题WORD版含答案.doc

南通市2013届高三第一次调研测试数学I
参考答案与评分标准
（考试时间：120分钟满分：160分）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．
1．已知全集U=R，集合，则▲．
答案：．
2．已知复数z=(i是虚数单位)，则复数z所对应的点位于复平面的第▲象限．
答案：三．
3．已知正四棱锥的底面边长是6，高为，这个正四棱锥的侧面积是▲．
答案：48.
4．定义在R上的函数，对任意x∈R都有，当时，，
则▲．
答案：．
5．已知命题：“正数a的平方不等于0”，命题：“若a不是正数，则它的平方等于0”，
则是的▲．（从“逆命题、否命题、逆否命题、否定”中选一个填空）
开始
结束
Y
n←1
输入x
输出x
n←n+1
x←2x+1
n≤3
N
（第8题）
答案：否命题．
6．已知双曲线的一个焦点与圆x2+y2－10x=0的圆心重合，
且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为▲．
答案：．
7．若Sn为等差数列{an}的前n项和，S9=－36，S13=－104，
则a5与a7的等比中项为▲．
答案：．
8．已知实数x∈[1，9]，执行如右图所示的流程图，
则输出的x不小于55的概率为▲．
答案：．
9．在△ABC中，若AB=1，AC=，，则=▲．
答案：．
10．已知，若，且，则的最大值为▲．
答案：－2．
11．曲线在点(1，f(1))处的切线方程为▲．
答案：．
(第12题)
O
12．如图，点O为作简谐振动的物体的平衡位置，取向右方向为正方向，若振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时．则该物体5s时刻的位移为▲cm．
答案：－1.5．
13．已知直线y=ax+3与圆相交于A，B两点，点在直线y=2x上，且PA=PB,则的取值范围为▲．
答案：．
14．设P(x，y)为函数图象上一动点，记，则当m最小时，点P的坐标为▲．
答案：(2，3)．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．(本题满分14分)
A
B
C
D
E
F
A1
B1
C1
(第15题)
如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E是侧面AA1B1B对角线的交点，F是侧面AA1C1C对角线的交点，D是棱BC的中点．求证：
（1）平面ABC；
（2）平面AEF⊥平面A1AD．

解：（1）连结．
A
B
C
D
E
F
A1
B1
C1
(第15题)
因为分别是侧面和侧面的对角线的交点，
所以分别是的中点．
所以．………………………………………………………3分
又平面中，平面中，
故平面．………………………………………………6分
（2）因为三棱柱为正三棱柱，
所以平面，所以．
故由，得．………………………………………8分
又因为是棱的中点，且为正三角形，所以．
故由，得．…………………………………………………………………10分
而，平面，所以平面．…………………………………12分
又平面，故平面平面．………………………………………………………14分

16.（本题满分14分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求角C的大小；
（2）若△ABC的外接圆直径为1，求的取值范围．
解：(1)因为，即，
所以，
即，
得．……………………………………………………………………………4分
所以，或(不成立)．
即,得．…………………………………………………………………7分
(2)由．
因，…………………………………………………………8分
故
=．………………………………………11分
，故．……………………………14分

17.（本题满分14分）
A
B
C
D
（第17题）

P
某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，为长方形薄板，沿AC折叠后，交DC于点P．当△ADP的面积最大时最节能，凹多边形的面积最大时制冷效果最好．
（1）设AB=x米，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；
（2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？
（3）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？

解：（1）由题意，，．因，故．……………………………2分
设，则．
因△≌△，故．
由，得，．……………………5分
（2）记△的面积为，则
………………………………………………………………………………………6分
，
当且仅当∈(1，2)时，S1取得最大值．…………………………………………………………8分
故当薄板长为米，宽为米时，节能效果最好．………………………………………9分
（3）记△的面积为，则
，．……………………………………………1