数列函数极限和函数连续性.doc

数列、函数极限和函数连续性
数列极限
定义1（语言）：设是个数列，是一个常数，若，正整数，使得当时，都有，则称是数列当无限增大时的极限，或称收敛于，记作，或.这时，也称的极限存在.
定义2（语言）：若,正整数，使得当时，都有,则称是数列当无限增大时的非正常极限，或称发散于，记作或，这时，称有非正常极限，对于的定义类似，就不作介绍了.为了后面数列极限的解法做铺垫，我们先介绍一些常用定理.
1.2数列极限求法的常用定理
定理1.2.1（数列极限的四则运算法则）若和为收敛数列，则也都是收敛数列，且有

若再假设及，则也是收敛数列，且有.
定理1.2.2（单调有界定理）在实数系中，有界的单调数列必有极限.
定理1.2.3（Stoltz公式）设有数列，，其中严格增，且（注意：不必）.如果
（实数，），
则
定理1.2.3'（Stoltz公式）设严格减，且，.若
（实数，），
则
.
定理1.2.4（几何算术平均收敛公式）设，则
，
若，则.
定理1.2.5（夹逼准则）设收敛数列都以为极限，数列满足：存在正数，当时，有
，
则数列收敛，且.
定理1.2.6（归结原则）设在内有定义.存在的充要条件是：对任何含于且以为极限的数列，极限都存在且相等.

数列极限的求法
2.1极限定义求法
在用数列极限定义法求时，关键是找到正数.我们前面一节的定理1.2.4（几何算术平均收敛公式）的证明就可用数列极限来证明，我们来看几个例子.
例2.1.1求，其中.
解：.
事实上，当时，结论显然成立.现设.记，则.由,
得.（5）
任给，由（5）式可见，当时，就有.即.所以.
对于的情况，因，由上述结论知，故
.
综合得时，.
例2.1.2定理1.2.4（1）式证明.
证明：由，则，存在，使当时，有
,
则
.
令，那么
.
由，知存在，使当时，有.
再令,故当时，由上述不等式知
.
所以.
例2.1.3求.
解：.
事实上，.
即.
对，存在，则当时，便有
所以.
注：上述例题中的7可用替换，即.
2.2极限运算法则法
我们知道如果每次求极限都用定义法的话，计算量会太大.若已知某些极限的大小，用定理1.2.1就可以简化数列极限的求法.
例2.2.1求,其中.
解：分子分母同乘，所求极限式化为
.
由知，
当时，所求极限等于；当时，由于，故此时所求极限等于0.综上所述，得到

例2.2.2求，其中.
解:若，则显然有；
若，则由得
；
若，则
.
2.3夹逼准则求法
定理1.2.5又称迫敛性，它不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求极限的工具.
例2.3.1求极限.
解：因为
，
所以
.
因，再由迫敛性知
.
例2.3.2求数列的极限.
解：记，这里，则
,
由上式得，从而有
,（2）
数列是收敛于1的，因对任给的，取，则当时有.于是，不等式（2）的左右两边的极限皆为1,故由迫敛性得
.
例2.3.3设及，求.
解：.
事实上，先令，把写作，其中.我们有
.
由于，可见是无穷小.据等式，
注意到，由方才所述的结果是无穷小.最后的等式表明，可表为有限个（个）无穷小的乘积，所以也是无穷小，即
.
2.4单调有界定理求法
有的时候我们需要先判断一个数列是否收敛，再求其极限，此时该方法将会对我们有很大帮助，我们来看几个例子.
例2.4.1求例2.1.3注解中的.
解：.
事实上，令.当时，
.
因此从某一项开始是递减的数列，并且显然有下界0.因此，由单调有界原理知极限存在，在等式的等号两边令，得到,所以为无穷小.从而
.
例2.4.2求极限（个根号）.
解：设，
又由，设，则.
因，故单调递增.
综上知单增有上界，所以收敛.
令由，
对两边求极限得，故.
2.5函数极限法
有些数列极限可先转化为函数极限求可能很方便，再利用归结原则即可求出数列极限.
例2.5.1用函数极限法求例2.1.1,即求.
解：先求，因,
再由归结原则知.
例2.5.2用函数极限求例2.3.2,即求.
解：先求.因，
再由归结原则知.
例2.5.3用函数极限求例2.3.3,即设及，求.
解：先求.因（由洛比达法则），再由归结原则知.
2.6定积分定义法
通项中含有的数列极限，由于的特殊性，直接求非常困难，若转化成定积分来求就相对容易多了.
例2.6.1求.
解：令，则.而,
也即，所以.
例2.6.2求极限.
解：因为

，

，
类似地

，
由夹逼准则知
.
注：在此式的求解中用到了放缩法和迫敛性.
2.7Stoltz公式法
Stoltz公式，在求某些极限时非常方便，尤其是当时特别有效.
例2.7.1同例2.1.2，定理1.2.4（1）式证明.
证明：前面用定义法证明，现用Stoltz公式证明.
令，则由Stoltz公式得到

.
例2.7.2求.
解：（Stoltz