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关于跨期经济决策72法则的拓展研究
——复利终值系数的近似计算

孙得将
（仰恩大学财政金融学院，福建泉州362014）

摘要：现实经济生活中充满了跨期经济决策问题，这就要计算货币的时间价值。货币时间价值甚至包含风险溢价的总体价值计算是一个结构完整的体系，其中复利终值系数的计算在此体系中居于核心地位。对于复利终值系数的计算尤其是近似计算，72法则应用广泛，尽管使用时精度较低且难以控制，但是根据其思路和运算习惯可以开发出更为精确的近似计算方法。对于积累期限为10年或10年的整数倍，复合利率在14%-34%情况下货币时间价值的计算，有更为简便特殊的方法。
关键词：72法则；复利终值系数；近似计算；货币时间价值

一、引言

当代市场经济条件下有很多经济决策和金融决策都涉及到资源的跨期配置问题，这就必然要考虑到货币的时间价值，因此要用到对复利现值和终值的估算，事实上由于复利现值系数和复利终值系数互为逆运算，所以复利终值系数的估算在此类计算中更居于基础性地位。尽管资源的跨期配置决策也要考虑到未来不确定性环境下的风险补偿问题，但是风险补偿一般都可以采用资本资产定价模型来对必要报酬率进行调整，然后用调整后的必要报酬率作为复合利率来计算现金流的现值或终值。当然，复利终值系数也可直接应用于对复合增长问题的计算。
对于公式ƒ＝（1＋r）t，式中，ƒ为终值系数，r为复合利率，t为积累期限。
大多数金融学专业教材没有做进一步处理，只有少数国内外著作在附录中给出了复利终值系数表，【1】【2】只有极个别国外教材介绍了怎样使用财务计算器来计算各类现值或终值问题。【3】考虑到在现实经济中有不少经济金融问题的决策是基于“模糊的正确”而做出的，因为未来是难以完全清晰准确地预测的，况且大多数情况下人们思考此类问题时手头没有现成的复利现值和终值系数表，甚至也没有或者是懒得用财务计算器或其它能计算指数函数值的计算工具，当然，人们也没有必要把复利终值系数表完整地背下来，那么能否提供一个简洁的处理系统从而使得人们直接用心算或者简单动一下纸和笔就能够比较正确地估算出ƒ的数值从而估算出一笔现金流的终值数呢？事实上，人们可能都接触过72法则。【4】但是72法则在利率大于8%时精度不高，何况翻倍也不符合我们平常计数和运算的习惯，更何况现实生活中恰巧翻倍的场合少而又少，且如果用翻倍法则去估计其它终值问题，毕竟显得太粗糙了，尤其是所要估计的数值较大时。其实，利用72法则的计算思路和习惯，应用泰勒级数展开式就可以推导出对终值系数近似计算的方法。关键问题在于如何推导出此种近似计算方法，如何熟练地把这种方法应用于各种涉及到跨期决策问题的计算。人们习惯上多以10年或10年的整倍数为单位来衡量中长期，对于积累期限为10的金融计算，如果有简洁的估算方法将为决策带来极大便利，其实更为便捷的近似计算方法是有的。

二、复利终值系数近似计算的数学推导及习惯处理

运用72法则时，第一步是用积累期限乘以去掉百分号后的复合利率，即利率的100倍，以下把它定义为利率特征值，把利率特征值与积累期限的乘积定义为总积累换算数。
第二步是用所得出的乘积与72进行比较，每含有一个72意味着要翻一番，第三部是把在第二步所得的数值相乘即可得出最终结果。复利终值系数的近似计算与72法则类似，也分三个步骤，现在分别介绍如下。不妨暂时称这种近似计算方法为“拓展的72法则”。

计算净积累换算数
此步主要根据复合利率和积累期限，运用简单的四则运算计算出复利终值系数近似计算时所对应的净积累换算数（A）。
设终值系数为ƒ，复合利率为r，那么，当0＜r＜＜1时，则有：
（1）
对数函数㏑(1＋r)的泰勒级数展开式为：
（2）
把（2）代入（1）得：
（3）
设为ƒ的近似估计，

（4）
定义利率特征数：k＝100r；定义总积累换算数：B＝tk＝t(100r)，这是适合连续复利计算的积累换算数；定义净积累换算数：A＝㏑，这是与实际非连续的复利计算所对应的积累换算数，那么则有：

（5）
定义调整系数：，那么则有：A＝Bc，即：
净积累换算数＝总积累换算数×调整系数（6）
∵0＜r＜＜1，∴c＜1，∴A＜B。
可以证明，近似计算的精度取决于净积累换算数的计算精度，而后者则直接取决于调整系数c的计算精度。一般情况下，如果计算精度要求不是太高时，（5）式完全能够满足实际计算的需要。如果对估算精度要求较高，那么结合（3）、（4）式，可以按要求把调整系数c修改为：
(7)
在进行实际计算时，根据决策所需的计算精度，可以结合（7）式来计算调整系数，且式中的通项rn/（n＋1）可以作为精度控制指标，可以证明计算相对误差小于所选取rn/（n＋1）的值。证明：如果令，记之后所有余项的和为：，那么则有：
所以，调整系数c估算时的相对误差小于