中考数学专项讲解 函数与方程思想 试题.doc

2011年中考数学专项讲解函数与方程思想
知识梳理
方程是研究数量关系的重要工具，在处理生活中实际问题时，根据已知与未知量之间的联系及相等关系建立方程或方程组，从而使问题获得解决的思想方法称为方程思想．而函数的思想是用运动、变化的观点，研究具体问题中的数量关系，再用函数的形式把变量之间的关系表示出来．函数与方程思想在中学数学中有着广泛的应用，也是中考必考的内容．
典型例题
【例1】如图：在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从点A出发，沿AB以每秒4cm的速度向点B运动；同时Q点从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向点A运动．设运动的时间为x秒．
(1)当x为何值时，PQ∥BC?
(2)△APQ能否与△CQB相似?
(3)若能．求出AP的长；若不能．请说明理由．
【解】(1)根据题意AP=4xcm，AQ=AC－QC=(30－30x)cm，若PQ∥BC，则．
则，解得．所以当s时，PQ∥BC．
(2)因为∠A=∠C，所以当或时，△APQ能与△CQB棚以．
①当时，，解得．
②当时，，解得x1=5，x2=－10(舍去)．所以AP=4x=20．
所以当cm或20cm时，△APQ与△CQB相似．
【解题反思】由相似三角形的对应边成比例，可列出分式方程，从而求解；在已知一个角对应相等的前提下考虑两个三角形相似时，有两种情况，不可遗漏．
【例2】某企业投资100万元引进一条农产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万元，该生产线投产后，从第1年到第x年的维修、保养费用累计为y(万元)，且y=x2+bx，若第1年的维修、保养费为2万元，第2年的维修、保养费为4万元．
(1)求y的解析式；(2)投产后，这个企业在第几年就能收回投资?
【解】(1)由题意，把x=1时，y=2和x=2时，y=2+4=6，代入y=x2+bx，得
，解得，所以y=x2+x
(2)设y′=33x－100－x2－x，则y′=－x2+32x－100=－(x－16)2+156．
由于当1≤x≤16时，y′随x的增大而增大，且当x=1、2、3时，y′的值均小于0，当x=4时，y′=－122+156>0，已知投产后该企业在第4年就能收回成本．
【解题反思】用函数思想解决实际问题，要关注自变量与函数之间的关系，注意：本题中的y是从第1年到第x年的维修、保养费用总和．
【例3】某村响应党中央“减轻农民负担，提高农民生活水平”的号召，该村实行合作医疗制度，村委会规定：
(一)每位村民年初交纳合作医疗基金元；
(二)村民个人当年治疗花费的医疗费(以医院的收据为准)，年底按下列办法处理．
村民个人当年花费的医疗费医疗费的处理办法不超过b元的部分全部由村集体承担(即全部报销)超过b元不超过5000元的部分个人承担c％，其余部分由村集体承担超过5000元的部分全部由村集体承担设一位村民当年治疗花费的医疗费用为x元，他个人实际承担的医疗费用(包括医疗费中个人承担的部分和缴纳的合作医疗基金)为y元．
(1)当0≤x≤b时，y=________；当b<x≤5000时，y=_______(用含、b、c、x的代数式表示)
(2)下表是该村3位村民2008年治疗花费的医疗费和个人实际承担的费用，根据表格中的数据，求、b、c的值；写出y与x之间的函数关系式；并计算村民个人一年最多承担医疗费为多少元．
村民治疗花费的医疗费x(元)个人实际承担的费用y(元)甲4030乙9050丙15080(3)下表是小强同学一家2006年治疗花费的医疗费用：
家庭成员爷爷奶奶爸爸妈妈小强治疗花费的医疗费(元)200100103020请你帮助小强计算参加合作医疗保险后村集体为他们家所承担的费用．
【解】(1)+(x－b)c％(2)假设b≤40，则
②－①得，c=40，③－②得，c=50，结果矛盾，b>40，这样①不成立，应为=30，代入②和③中，解得c=50，b=50．当0≤x≤50时，y=30；当50<x≤5000时，y=30+(x－50)50％=0．5x+5；当x>5000时，y=2505，村民个人一年最多承担医疗费为2505元；
(3)全家医药费合计200+100+10+30+20=360，个人应该承担的药费之和(0．5×200+5)
+(0．5×100+5)+30+30+30=250，集体为他们家承担的药费360－250=110(元)．
【解题反思】本题的关键是确定的范围，这里采用了反证法来说明b>40．

综合训练
1．如果关于x的方程无解，则的值为__________．
2．如图，已知矩形ABCD中，E是AD上一点，F是AB上一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．

3．如图，△ABC中，AC=4，AB=5，D是线段AC上一