高考数学大一轮复习 高考大题专项练一 高考中的函数与导数 理 新人教A版-新人教A版高三全册数学试题.docx

高考大题专项练一高考中的函数与导数
高考大题专项练
1.(2019北京,理19)已知函数f(x)=14x3-x2+x.
(1)求曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程;
(2)当x∈[-2,4]时,求证:x-6≤f(x)≤x;
(3)设F(x)=|f(x)-(x+a)|(a∈R),记F(x)在区间[-2,4]上的最大值为M(a).当M(a)最小时,求a的值.
(1)解由f(x)=14x3-x2+x得f'(x)=34x2-2x+1.
令f'(x)=1,即34x2-2x+1=1,得x=0或x=83.
又f(0)=0,f83=827,
所以曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程是y=x与y-827=x-83,即y=x与y=x-6427.
(2)证明令g(x)=f(x)-x,x∈[-2,4].
由g(x)=14x3-x2得g'(x)=34x2-2x.
令g'(x)=0得x=0或x=83.
g'(x),g(x)的情况如下:
x-2(-2,0)00,838383,44g'(x)+-+g(x)-6↗0↘-6427↗0所以g(x)的最小值为-6,最大值为0.
故-6≤g(x)≤0,
即x-6≤f(x)≤x.
(3)解由(2)知,
当a<-3时,M(a)≥F(0)=|g(0)-a|=-a>3;
当a>-3时,M(a)≥F(-2)=|g(-2)-a|=6+a>3;
当a=-3时,M(a)=3.
综上,当M(a)最小时,a=-3.
2.(2019宁夏石嘴山三中高三四模)已知函数f(x)=(x-a)ex(a∈R).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当a=2时,F(x)=f(x)-x+lnx,记函数y=F(x)在区间14,1内的最大值为m,证明:-4<m<-3.
(1)解因为f(x)=(x-a)ex,所以f'(x)=(x-a+1)ex.当x∈(-∞,a-1)时,f'(x)<0;当x∈(a-1,+∞)时,f'(x)>0.
故f(x)的单调递减区间为(-∞,a-1),单调递增区间为(a-1,+∞).
(2)证明当a=2时,F(x)=(x-2)ex-x+lnx,
则F'(x)=(x-1)ex-1+1x=(x-1)ex-1x.
当14<x<1时,x-1<0.令g(x)=ex-1x,
则g'(x)=ex+1x2>0,所以g(x)在区间14,1内单调递增.
因为g12=e12-2<0,g(1)=e-1>0,
所以存在x0∈12,1,使得g(x0)=0,即ex0=1x0,即lnx0=-x0.
故当x∈14,x0时,g(x)<0,此时F'(x)>0;当x∈(x0,1)时,g(x)>0,此时F'(x)<0.
故F(x)在区间14,x0内单调递增,在区间(x0,1)内单调递减.
故m=F(x)max=F(x0)=(x0-2)ex0-x0+lnx0=(x0-2)·1x0-x0-x0=1-2x0-2x0.
令G(x)=1-2x-2x,x∈12,1,则G'(x)=2x2-2=2(1-x2)x2>0.
所以G(x)在区间12,1内单调递增,
所以G(x)>G12=-4,G(x)<G(1)=-3.
故-4<m<-3.
3.设函数f(x)=αcos2x+(α-1)(cosx+1),其中α>0,记|f(x)|的最大值为A.
(1)求f'(x);
(2)求A;
(3)证明|f'(x)|≤2A.
(1)解f'(x)=-2αsin2x-(α-1)sinx.
(2)解(分类讨论)当α≥1时,
|f(x)|=|αcos2x+(α-1)(cosx+1)|≤α+2(α-1)=3α-2=f(0).
因此A=3α-2.
当0<α<1时,将f(x)变形为
f(x)=2αcos2x+(α-1)cosx-1.
(构造函数)
令g(t)=2αt2+(α-1)t-1,则A是|g(t)|在区间[-1,1]上的最大值,
g(-1)=α,g(1)=3α-2,且当t=1-α4α时,g(t)取得极小值,极小值为g1-α4α=-(α-1)28α-1=-α2+6α+18α.
令-1<1-α4α<1,解得α<-13(舍去),α>15.
(ⅰ)当0<α≤15时,g(t)在区间(-1,1)内无极值点,|g(-1)|=α,|g(1)|=2-3α,|g(-1)|<|g(1)|,所以A=2-3α.
(ⅱ)当15<α<1时,由g(-1)-g(1)=2(1-α)>0,
知g(-1)>g(1)>g1-α4α.
又g1-α4α-|g(-1)|=(1-α)(1+7α)8α>0,
所以A=g1-α4α=α2+6α+18α.
综上,A=2-3α,0<α≤15,α2+6α+18α,15<α<1,3α-2,α≥1.
(3)证明由(1),得|f'(x)|=|-2αsin2x-(α-1)sinx|≤2α+|α-1|.
当0<α≤15时,|f'(x)|≤1+α≤