高二数学文导数的概念苏教版知识精讲.doc

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高二数学文导数的概念苏教版
【本讲教育信息】
一.教学内容：
导数的概念

二.教学目的：
1.理解导数的概念，学会求函数在一点处的导数的方法.
2.掌握导数的几何意义。理解导数与瞬时变化率的关系。

教学重点：
导数的定义与求导数的方法.

教学难点：
导数概念的理解，通过曲线切线的斜率与瞬时速度引出导数的概念，

三.内容梳理：
1.曲线的切线
如图，设曲线c是函数的图象，点是曲线c上一点。作割线PQ，当点Q沿着曲线c无限地趋近于点P，割线PQ无限地趋近于某一极限位置PT我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线c在点P处的切线。

2.确定曲线c在点处的切线斜率的方法：
因为曲线c是给定的，根据解析几何中直线的点斜式方程的知识，只要求出切线的斜率就够了。设割线PQ的倾斜角为，切线PT的倾斜角为，既然割线PQ的极限位置上的直线PT是切线，所以割线PQ斜率的极限就是切线PQ的斜率tan，即
时，＝＝tan
3.瞬时速度定义：运动物体经过某一时刻（某一位置）的速度，叫做瞬时速度.
4.确定物体在某一点A处的瞬时速度的方法：
从t0到t0+Δt，这段时间是Δt.时间Δt足够短，就是Δt无限趋近于0.当Δt→0时，平均速度就越接近于瞬时速度。
瞬时速度。
5.导数的定义：设函数在处附近有定义，当自变量在处有增量时，则函数相应地有增量，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限，即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即

注意：（1）函数应在点的附近有定义，否则导数不存在。
（2）在导数的定义式中，趋近于0可正、可负、但不为0，而可能为0。
（3）是函数对自变量在范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线上点（）及点）的割线斜率。
（4）导数是函数在点处的瞬时变化率，它反映函数在点处变化的快慢程度。
6.导数的几何意义：
是曲线上点（）处的切线的斜率因此，如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为。
说明：（1）导数是一个局部概念，它只与函数在及其附近的函数值有关，与无关。
（2）在定义式中，设，则，当趋近于0时，趋近于，因此，导数的定义式可写成
当△x→0时，。
（3）若极限不存在，则称函数在点处不可导。
（4）若在可导，则曲线在点（）有切线存在。反之不然，若曲线在点（）有切线，函数在不一定可导，并且，若函数在不可导，曲线在点（）也可能有切线。
7.导函数（导数）:如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数，称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，也可记作，即＝＝
函数在处的导数就是函数在开区间上导数在处的函数值，即＝所以函数在处的导数也记作。
注意：（1）导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。它们之间的关系是函数在点处的导数就是导函数在点的函数值。
（2）可导：如果函数在开区间内每一点都有导数，则称函数在开区间内可导
8.求函数的导数的一般方法：
（1）求函数的改变量。
（2）求平均变化率。
（3）逼近，得导数。

【典型例题】
例1.求y＝x2在点x＝1处的导数.
解：Δy＝（1+Δx）2－12＝2Δx+（Δx）2，＝2+Δx
∴当时，＝（2+Δx）2.∴y′|x＝1＝2.
注意：（Δx）2括号别忘了写.

例2.已知y＝，求y′.
分析：求函数在一点的导数，与求函数在一个区间上的导数，方法是一样的，也是三个步骤，只是把x0换成x.
解：Δy＝，
∴
.
点评：求函数的导数也主要是求极限的值，所以极限是求函数的导数的基础，求极限的一些基本方法不能忘掉.
变式：已知y＝x3－2x+1，求y′，y′|x＝2.
解：Δy＝（x+Δx）3－2（x+Δx）+1－（x3－2x+1）
＝x3+3x2Δx+3x（Δx）2+（Δx）3－2x－2Δx+1－x3+2x－1
＝（Δx）3+3x（Δx）2+（3x2－2）Δx
＝（Δx）2+3xΔx+3x2－2
∴＝［（Δx）2+3xΔx+3x2－2］，y′＝3x2－2.
方法一：∵y′＝3x2－2，∴y′|x＝2＝3×22－2＝10.
方法二：Δy＝（2+Δx）3－2（2+Δx）+1－（23－2·2+1）
＝（Δx）3+6（Δx）2+10Δx
＝（Δx）2+6Δx+10
＝［（Δx）2+6Δx+10］当时，得y′|x＝2＝10.
点评：如果题目中要求y′，那么求y′|x＝2时用方法一简便。
如果只要求y′|x＝2，用方法二比较简便。

例3.（1）求曲线y＝x2在点（1，1）处的切线。
（2）求曲线y＝x2过点（1，0）处的切线。
解：（1）由上知y′|x＝1＝2.，切线方程为y－1＝2（x－1），即2x－y－1＝0.