高二数学推理与证明知识精讲 人教实验版(B).doc

用心爱心专心119号编辑

高二数学推理与证明知识精讲
一.本周教学内容：
推理与证明

二.教学目标：
1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用。体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理。
2.掌握直接证明与间接证明的三种基本方法：综合法、分析法、反证法。

三.教学重点、难点：
1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理。掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理。
2.掌握综合法、分析法、反证法证明问题的基本思路与思想方法。
难点：用归纳和类比进行推理，作出猜想；综合法、分析法、反证法的具体应用。

四.知识分析：
（一）合情推理：
1.归纳推理
①概念：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理。
②特点：（1）归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；
（2）归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的；
（3）人们在进行归纳推理的时候，总是先收集一定的事实材料，有了个别性的、特殊性的事实作为前提，然后才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和实验的基础上进行；
（4）归纳推理能够发现新事实、获得新结论，是作出科学发现的重要手段。
2.类比推理
①概念：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理。简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。
②特点：
（1）类比推理是由特殊到特殊的推理；
（2）类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究的事物的特征
所以，类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠；
（3）类比推理以旧的知识作基础，推测新的结果，具有发现的功能。类比在数学发现中有重要作用。
（4）由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征；然后进行类比推理的关键是明确地指出两类对象在某些方面的类似特征。

（二）演绎推理：
1.定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的推论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的过程。
2.推理形式：主要有假言推理、三段论推理、传递性推理、完全归纳推理等形式，其最主要的推理形式为三段论。三段论包含三个判断：
（1）大前提……已知的一般原理
（2）小前提……所研究的特殊情况
（3）结论……根据一般原理，对特殊情况作出的判断
注意：在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，结论就必然正确。在应用三段论推理时，大前提、小前提或推理形式中任何一个错误，都可能导致结论错误。
3.合情推理与演绎推理的区别与联系
从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个体到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理。
从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待于进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。
人们在认识世界的过程中，需要通过观察、实验等获取经验；也需要辨别它们的真伪，或将积累的知识加工、整理，使之条理化，系统化，合情推理和演绎推理分别在这两个环节中扮演着重要的角色
就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理。因此，我们不仅要学会证明，也要学会猜想。

（三）直接证明与间接证明：
1.综合法与分析法：
（1）综合法是从已知条件和某些学过的定义、公理、定理出发，通过推理得出结论。其推理方向是由“已知”看“可知”，其逐步推理，实际上是寻找它成立的必要条件。其证题思路是“由因导果”，不断地用必要条件代替前面的结论，直至推出欲证的结论。
（2）分析法证明时，要证明结论成立，逐步寻求推证过程中使每一步成立的充分条件，把要证明的结论归结为判断一个明显的条件（已知条件、定理、公理、定义等）为止。其推理方向是由结论到已知。其证题思路为“执果索因”。不断地用充分条件来代替前面的结论，直至找到已知条件（或定义、公理、定理等）
注意：综合法与分析法从思维过程来看是互逆的，叙述方式也有所不同。有些题目用一般方法较难入手时，分析法常常作为对问题的分析，去探索解体思路，解答时可改用综合法叙述。
2.反证法：
从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫反证法。
①反证法的步骤：（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。
（2）从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾。
（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的