数值分析9(迭代法收敛性证明)资料.ppt

迭代法收敛性条件
迭代误差估计定理总结:例4设||.||为Rn×n上任意一种矩阵范数,则对任意的A∈Rn×n,有AX=b(M–N)X=bMX=NX+b*引理1
引理2
证:必要性,设迭代法产生的序列{X(k)}收敛,记
X*是该序列的极限点,则X*=BX*+f。
充分性

谱半径小于1是迭代收敛的充要条件,但它不易计算,所以在实际使用中通常并不好用。定理4.2设X*为方程组AX=b的解若||B||<1,则对迭代格式X(k+1)=BX(k)+f有||X(k)–X*||=||(X(k)–X(k+1))+(X(k+1)–X*)||*定义4.1A=(aij)n×n,如果则称A为
严格对角占优阵。定理4.3若Ax=b的系数矩阵A是严格对角占优矩阵,则Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代收敛。所以Gauss-Seidel迭代矩阵为BGS=(D-L)-1U。新证:定理4.4方程组Ax=b中,若A是实对称正定矩阵,则Gauss-Seidel迭法收敛。所以迭代矩阵BGS的谱半径(BGS)<1,从而当A定理4.5设BJ元素均非负,则下列关系有且只有一个成立:*直接法vs迭代法迭代法优势1:迭代法优势2:Poisson方程:n=10000;e=ones(n,1);
A=spdiags([e-2*ee],-1:1,n,n),spy(A)HB矩阵稀疏模式
来源TheoriginalHarwell-BoeingcollectionFreeFieldTechnologies矩阵稀疏模式
来源3Dvibro-acousticproblem,
aircraftenginenacellevanHeukelum矩阵稀疏模式
来源DNAelectrophoresisgaron2矩阵稀疏模式
2DFEM,Navier-Stokes,CFD