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支持向量机中Mercer核函数的构造研究
支持向量机（SupportVectorMachine，SVM）是一种通用的分类与回归方法。它以间隔（margin）最大化为原则，可以有效地解决高维空间中数据集合分类的问题。在SVM的实现中，核函数扮演着重要的角色。本文将从Mercer核函数出发，研究SVM的核函数构造方法。
一、Mercer核函数的定义和性质
Mercer核函数是指满足Mercer定理的核函数。Mercer定理的定义是“任何半正定核函数都可以唯一地表示为关于其特征函数的级数和”。也就是说，如果一个核函数K(x,y)是半正定的，并且K(x,y)=K(y,x)，那么它一定可以表示为下面的形式：
K(x,y)=∑iλiφi(x)φi(y)
其中，λi是非负实数，φi(x)是K的特征函数。
Mercer核函数的定义表明，只有满足一定要求的二元函数才能成为核函数。例如，对于Mercer核函数K(x,y)，它的多项式、高斯、sigmoid等更为常见的核函数都是它的特殊情况。另外，Mercer核函数必须是正半定的，也就是它的所有二次型都是非负的，因此它能够保证SVM的优异性能。
二、Mercer核函数的构造方法
由于Mercer核函数必须满足一定的条件，因此其构造方法就相对较为繁琐。下面介绍三种Mercer核函数的构造方法。
1.特解构造法
特解构造法是一种直接构造Mercer核函数的方法。对于某些可数特征空间X，可以直接构造一个二次型：
K(x,y)=φ(x)TAφ(y)
其中，A是一个对称半正定的n×n实矩阵，φ(x)是特定的n维特征向量。这种方法需要手工构造特征向量，因此在实际中不太常用。但是对于一些特定问题，这种构造方法可以大大简化计算过程。
2.谱分解法
谱分解法是Mercer核函数构造的一种较为常用的方法。该方法的基本思想是通过矩阵分解得到Mercer核函数。特别地，如果将矩阵K表示为K=GGt，那么K就是半正定的。此时，可以将函数K(x,y)定义为：
K(x,y)=G(x)G(y)T
其中，G(x)表示x在G的行空间中的投影。这个构造方法的计算复杂度非常高，但是其结果具有很好的可操作性。
3.随机特征法
随机特征法是一种近似Mercer核函数的构造方法。随机特征法核心思想是使用随机投影矩阵H把高维特征向量映射到低维空间，然后在低维空间中近似计算Mercer核函数。具体来说，一个n维Mercer核函数可以表示为下面的形式：
K(x,y)=E[h(z(x))h(z(y))T]
其中，h是一个由随机向量z(x)组成的函数。
三、Mercer核函数应用实例
Mercer核函数在SVM中的应用非常广泛。例如在图像处理中，基于Mercer核函数的非线性卷积SVM模型可以大大提高图像分类的准确率。同时，在机器学习中，通过使用不同的Mercer核函数，可以有效地解决样本量较少、数据采集复杂等问题。最近，Mercer核函数在神经网络领域也得到了广泛的应用。
总之，Mercer核函数是SVM在实际应用中非常重要的一个方面。本文介绍了Mercer核函数的定义和性质，以及构造方法。通过实际应用，我们可以发现Mercer核函数在高维空间数据处理中具有很好的应用价值。