高中数学 考前归纳总结 立体几何中的二面角问题 试题.doc

立体几何中的二面角问题
一、常见基本题型：
(1)求二面角的大小
例1、已知斜三棱柱的底面是正三角形，侧面是菱形，且
，M是的中点，
（1）求证：平面ABC；
（2）求二面角的余弦值。
解：（1）∵侧面是菱形且∴为正三角形
又∵点为的中点∴
∵∥∴
由已知∴平面

（2）如图建立空间直角坐标系
设菱形边长为2
得，
，
则，
，
设面的法向量，由,得
，令，得
设面的法向量，由，得
,令，得
得.
又二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为。
（2）已知二面角的大小，求其它量。
例1、如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．
（I）求证：平面EAC⊥平面PBC;
（II）若二面角P-AC-E的余弦值为，求直线PA
与平面EAC所成角的正弦值．
解：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC平面ABCD，
∴AC⊥PC，
∵AB＝2，AD＝CD＝2，∴AC＝BC＝eq\r(2)，
∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC，
又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC，
∵AC平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．
（Ⅱ）如图，以C为原点，eq\o(DA,\s\up5(→))、eq\o(CD,\s\up5(→))、eq\o(CP,\s\up5(→))分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(1，1，0)，B(1，－1，0)．
D
A
C
E
P
B
x
y
z
设P(0，0，a)（a＞0），则E(eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，eq\f(a,2)），
eq\o(CA,\s\up5(→))＝(1，1，0)，eq\o(CP,\s\up5(→))＝(0，0，a)，
eq\o(CE,\s\up5(→))＝（eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，eq\f(a,2)），取m＝(1，－1，0)，则
m·eq\o(CA,\s\up5(→))＝m·eq\o(CP,\s\up5(→))＝0，m为面PAC的法向量．
设n＝(x，y，z)为面EAC的法向量，
则n·eq\o(CA,\s\up5(→))＝n·eq\o(CE,\s\up5(→))＝0，
即eq\b\lc\{(\a\al(x＋y＝0，,x－y＋az＝0，))取x＝a，y＝－a，z＝－2，则n＝(a，－a，－2)，
依题意，|cosm，n|＝eq\f(|m·n|,|m||n|)＝eq\f(a,\r(a2＋2))＝eq\f(\r(6),3)，则a＝2．
于是n＝(2，－2，－2)，eq\o(PA,\s\up5(→))＝(1，1，－2)．
设直线PA与平面EAC所成角为θ，
则sinθ＝|coseq\o(PA,\s\up5(→))，n|＝eq\o(\s\up9(|\o(PA,\s\up5(→))·n|),\s\up8(__________),\s\do6(|\o(PA,\s\up5(→))||n|))＝eq\f(\r(2),3)，
即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为eq\f(\r(2),3)．
（3）求二面角的取值范围
A
O
B
C
D

例3.如图，已知△AOB，∠AOB＝，∠BAO＝，AB＝4，D为线段AB的中点．若
△AOC是△AOB绕直线AO旋转而成的．记二面角B－AO－C的大小为．
（1）当平面COD⊥平面AOB时，求的值；
（2）当∈[，]时，求二面角C－OD－B的
余弦值的取值范围．
解：（1）如图，以O为原点，在平面OBC内垂直于OB
的y
A
O
B
C
D

x
z
直线为x轴，OB，OA所在的直线分别为y轴，z
轴建立空间直角坐标系O－xyz，则A(0，0，2)，
B(0，2，0)，D(0，1，)，C(2sin，2cos，0)．
设＝(x，y，z)为平面COD的一个法向量，
由得，
取z＝sin，则＝(cos，－sin，sin)．
因为平面AOB的一个法向量为＝(1，0，0)，
由平面COD⊥平面AOB得＝0，
所以cos＝0，即＝．
（2）设二面角C－OD－B的大小为，由(Ⅰ)得当＝时，cos＝0；
当∈(，]时，tan≤－，
cos=＝＝－，故－≤cos＜0．
综上，二面角C－OD－B的余弦值的取值范围为[－，0]．
二、针对性练习

如图，斜三棱柱的底面是直角三角形，
,点在底面内的射影恰好是的中点，
且.
(1)求证:平面平面;
(2)若二面角的余弦值为,
设,求的值.
解:(1)取中点，连接，则面，

，
，

（2）以为轴,为轴,过点与面垂直方向