高二数学文数系的扩充与复数的概念人教实验版（B）知识精讲.doc

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高二数学文数系的扩充与复数的概念人教实验版（B）
【本讲教育信息】
一.教学内容：
数系的扩充与复数的概念

二.学习目标
掌握复数的概念、复数的表示方法及其几何意义，复数的模

三.考点分析
1.复数及分类
形如的数叫做复数，其中a为实部，b为虚部，i是虚数单位，且满足。

2.复数相等的充要条件
。特别地。
3.数集间的联系：
4.复数集C与复平面上的点集和以原点为起点的向量集是一一对应的，见图。

5.复数的模：向量的长度叫做复数）的模，即

注：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
6.i的幂
。
7.共轭复数及其运算性质
与互为共轭复数，且，
它的运算性质有：，，
8.的性质
记，则，，，，，。

【典型例题】
例1.当m为何实数时，复数；
（1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数。
解：（1）z为实数，则虚部，
即
解得m=2
∴m=2时，z为实数
（2）z为虚数，则虚部，
即
解得且
∴当且时，Z为虚数
（3）z为纯虚数
解得
∴当时，z为纯虚数

例2.求同时满足下列条件的所有复数z：
（1）是实数，且。
（2）z的实部和虚部都是整数。
解：设且
则

由（1）知是实数，且
∴即或
又*
当b=0时，*化为无解。
当时，*化为∴
由（2）知
∴相应的，（舍），
因此，复数z为：或

例3.已知复数z满足且，求z的值。
解：设，由已知得
①
∵

依题意得
由③得或
（1）当时，由①知但与②矛盾
∴，即
（2）当时，由①得
把值代入②均成立
综上可知：
，

例4.已知且，求的最值。
解：

设，那么，
又，。

即。
的最小值为0，最大值为3。

例5.设虚数，满足
（1）若是一个实系数一元二次方程的两根，求。
（2）若（i为虚数单位，），，复数，求的取值范围。
解：（1）∵是一个实系数一元二次方程的两个虚根，因此必共轭，
可设且，则
由得
即：
根据复数相等，得
∵解得或
∴或
（2）由于，
∴
∴
由于且，可解得，
令，
在上，是减函数
∴

【模拟试题】
一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
1.“”是“”的（）条件
A.充分不必要 B.必要不充分
C.充要 D.既不充分也不必要
2.设，则（）
A. B.
C. D.
3.计算的结果为（）
A. B. C.1 D.
4.若，则z对应的点的轨迹是（）
A.圆 B.两点 C.线段 D.直线
5.复数，且，则是（）
A.实数 B.纯虚数 C.非纯虚数 D.复数
6.若，且，则的最小值是（）
A.2 B.3 C.4 D.5

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
7.计算：_________
8.若，，，则＝。
9.。
10.若，且，则____________

三、解答题（本大题共4题，共50分）
11.在复数范围内解方程（i为虚数单位）。
12.若复数z满足，且为纯虚数，求z。
13.若复数z满足，求的最大、最小值。
14.若复数z满足，求证：

试题答案
1.A
提示：若为共轭复数，则，但若，如，，满足，但与不能互为共轭复数，因此应选A。
2.C
提示：由知
或
故选C
3.D
提示：由幂的运算法则，有
这里用到了的周期性结论。
4.A
提示：设，则
即
即，这是以为圆心，以2为半径的圆的方程。
5.B
提示：设（由，知）

6.B
7.原式
提示：注意利用简化运算

8.
9.
10.
提示：设，则
又
则有联立得

即

11.解析：原方程化简为，设，（），代入上述方程得，
解得
∴原方程的解是。
12.解：设

13.解法一：数形结合法
设，则

化简，得

表示点到原点O（0，0）的距离，而点（x，y）在圆C上
由平面几何知识，可知|z|的最大值为，最小值为
解法二：利用复数的模的性质

即，去绝对值，得

解这个关于的不等式，得
当时，上式取等号
由，把代入
得，解得或
当时，取最大值；
当时，取最小值
14.证明：设