高考数学二轮复习 专题二 三角函数与平面向量 第2讲 三角恒等变换与解三角形课时规范练 文-人教版高三全册数学试题.doc

第2讲三角恒等变换与解三角形

一、选择题
1．(2017·衡水中学月考)已知α为锐角，cosα＝eq\f(3,5)，tan(α－β)＝－eq\f(1,3)，则tanβ的值为()
A.eq\f(1,3)B．3C.eq\f(9,13)D.eq\f(13,9)
解析：由α为锐角，cosα＝eq\f(3,5)，
得sinα＝eq\f(4,5)，
所以tanα＝eq\f(4,3)，因为tan(α－β)＝－eq\f(1,3)，
所以tanβ＝tan[α－(α－β)]＝eq\f(tanα－tan（α－β）,1＋tanα·tan（α－β）)＝3.
答案：B
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝eq\f(π,3)，则△ABC的面积是()
A．3B.eq\f(9\r(3),2)C.eq\f(3\r(3),2)D．3eq\r(3)
解析：c2＝(a－b)2＋6，即c2＝a2＋b2－2ab＋6.①
因为C＝eq\f(π,3)，由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab，②
由①和②得ab＝6，
所以S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×6×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2).
答案：C
3．(2017·德州二模)已知cosα＝eq\f(3,5)，cos(α－β)＝eq\f(7\r(2),10)，且0＜β＜α＜eq\f(π,2)，那么β＝()(导学号55410106)
A.eq\f(π,12)B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,3)
解析：由cosα＝eq\f(3,5)，0＜α＜eq\f(π,2)，
得sinα＝eq\f(4,5)，
又cos(α－β)＝eq\f(7\r(2),10)，0＜β＜α＜eq\f(π,2)，
得sin(α－β)＝eq\f(\r(2),10)，
则cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝eq\f(3,5)×eq\f(7\r(2),10)＋eq\f(4,5)×eq\f(\r(2),10)＝eq\f(\r(2),2)，
由0＜β＜eq\f(π,2)，得β＝eq\f(π,4).
答案：C
4．(2017·韶关调研)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝eq\f(1,3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(5π,3)))＋sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))的值为()
A．－eq\f(1,9)B.eq\f(1,9)C.eq\f(5,3)D．－eq\f(5,3)
解析：coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(5π,3)))＋sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(2,3)π))＋sin2(x－eq\f(π,3))＝1－2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＋1－cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝2－3cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝eq\f(5,3).
答案：C
5．(2017·山东卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，则下列等式成立的是()
A．a＝2b B．b＝2a
C．A＝2B D．B＝2A
解析：因为2sinAcosC＋cosAsinC＝sinA·cosC＋sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinB.
所以等式左边去括号，得
sinB＋2sinBcosC＝sinAcosC＋sinB，
则2sinBcosC＝sinAcosC，
因为角C为锐角三角形的内角，所以cosC不为0.
所以2sinB＝sinA，根据正弦定理变形，得a＝2b.
答案：A
二、填空题
6．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝eq\r(6