广东省广州市2013届高三数学考前训练试题（广州三模）理 新人教A版.doc

2013年广州市高考备考冲刺阶段数学学科训练材料
（理科）
说明：
⒈本训练题由广州市中学数学教学研究会高三中心组与广州市高考数学研究组共同编写，共24题．
⒉本训练题仅供本市高三学生考前冲刺训练用，希望在5月31日之前完成．
3．本训练题与市高三质量抽测、一模、二模等数学试题在内容上相互配套，互为补充．四套试题覆盖了高中数学的主要知识和方法．因此，希望同学们在5月31日至6月6日之间，安排一段时间，对这四套试题进行一次全面的回顾总结，同时，将高中数学课本中的基本知识（如概念、定理、公式等）再复习一遍．
希望同学们保持良好的心态，在高考中稳定发挥，考取理想的成绩！

已知函数，的最大值是1，其图像经过点
．
（1）求的解析式；
（2）已知，且，，求的值．

2.设函数.
（1）若是函数的一个零点，求的值；
（2）若是函数的一个极值点，求的值.

3.在中，内角所对的边长分别是,已知，.
（1）求的值；
（2）若为的中点，求的长.

4.一缉私艇发现在方位角（从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角）45°方向，距离15海里的海面上有一走私船正以25海里/小时的速度沿方位角为105°的方向逃窜．若缉私艇的速度为35海里/小时，缉私艇沿方位角为45°+α的方向追去，若要在最短时间内追上该走私船．
（1）求角α的正弦值；
（2）求缉私艇追上走私船所需的时间．

5.某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：

（1）指出这组数据的众数和中位数；
（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；
（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记表示抽到“极幸福”的人数，求的分布列及数学期望．

6.汽车是碳排放量比较大的行业之一．欧盟规定，从2012年开始，将对排放量超过
的型新车进行惩罚．某检测单位对甲、乙两类型品牌车各抽取辆进行
排放量检测，记录如下(单位：).
甲80110120140150乙100120160经测算发现，乙品牌车排放量的平均值为．
（1）从被检测的5辆甲类品牌车中任取2辆，则至少有一辆不符合排放量的概率是多少？
（2）若，试比较甲、乙两类品牌车排放量的稳定性．

7．随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为．
（1）求的分布列；
（2）求1件产品的平均利润（即的数学期望）；
（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为，一等品率提高为．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？

8．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，底
面，，分别为的中点．
A
P
B
C
D
M
N
（1）求证：；
（2）求与平面所成的角的正弦值．

9．一个三棱锥的三视图、直观图如图．
（1）求三棱锥的体积；
（2）求点C到平面SAB的距离；
（3）求二面角的余弦值．

10．如图，为圆的直径，点、在圆上，，矩形所在的平面
和圆所在的平面互相垂直，且，．
（1）求证：平面；
（2）设的中点为，求证：平面；
（3）设平面将几何体分成的两个锥体
的体积分别为，，求．

11.已知等比数列的公比，，且、、成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.

12.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数．
(1)当时，求函数的表达式；
(2)当车流密度为多大时，车流量可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）.(车流量为单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）

13．某地区有荒山2200亩，从2002年开始每年年初在荒山上植树造林，
第一年植树100亩，以后每年比上一年多植树50亩．
（1）若所植树全部成活，则到哪一年可以将荒山全部绿化？
（2）若每亩所植树苗木材量为2立方米，每年树木木材量的自然增长率
为20％，那么到全部绿化后的那一年年底，该山木材总量是多少？
（精确到１立方米,）

14.已知抛物线与双曲线有公共焦点，点
是