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基于核方法的二维线性判决分析的人脸识别算法
摘要：
人脸识别算法是近年来研究的热点问题之一，二维线性判决分析是一种常用的分类器，核方法可以提高分类器的性能。本文介绍了基于核方法的二维线性判决分析的人脸识别算法，包括PCA、LDA、KPCA和KLDA算法的基本原理及其在人脸识别中的应用。实验结果表明，本文提出的算法在人脸识别中具有有效性和较好的性能。
关键词：人脸识别；二维线性判决分析；核方法；PCA；LDA；KPCA；KLDA
一、绪论
人脸识别是一项重要的人机交互技术，其应用于安防、智能门禁、电子商务等众多领域。在人脸识别中，算法的准确性、速度、稳定性等因素直接影响识别的效果。因此，对于算法的研究具有重要的意义和价值。
二维线性判决分析（2D-LDA）是一种经典的模式识别方法，它能够将多维数据降维到低维，并且能够挖掘数据中的关键特征。然而，2D-LDA本身只能处理线性可分数据，如果将它应用于非线性可分数据，其大部分分类信息将会丢失。为了解决这一问题，可以采用核方法来提高分类性能。
核方法是一种基于特征映射技术的非线性数据分析方法，它可以将原始数据映射到一个高维空间中，使得在高维空间中非线性可分的问题在低维空间中变为线性可分的问题。此外，核方法在处理高维数据时，依然能够保留原始数据中的关键信息，提高分类器的性能。
本文将介绍基于核方法的二维线性判决分析的人脸识别算法。首先介绍PCA和LDA算法的基本原理，然后引入核方法，分别介绍KPCA和KLDA算法的应用。最后，通过实验验证了本文提出的算法的有效性和性能。
二、算法原理
1.PCA算法
PCA（PrincipalComponentAnalysis）是一种流行的线性降维算法，它通过线性变换将原始数据映射到新的坐标系中，然后只保留前几个主成分，在原始数据的基础上实现了维度的降低。
假设有m个变量，n个样本，X=[x1,x2,….,xn]是一个m×n的数据矩阵，首先对X的每一列进行零均值化，然后计算协方差矩阵C=XTX，并对C矩阵进行特征分解，得到特征值和特征向量。
PCA的核心是将原始数据映射到新的坐标系中，转换后的数据可以写为
Y=ATX(1)
其中，A=[a1,a2,…..am]是转换矩阵，它包含了前k个特征向量组成的矩阵，AT是A的转置。
2.LDA算法
LDA（LinearDiscriminantAnalysis）是一种常见的分类方法，在LDA中，样本的类别已知，它可以根据数据样本本身进行分类。LDA试图找到一个投影空间，在该投影空间中最大化类间距离，最小化类内距离。
假设有C个类别，N个样本，X1,X2,….,XN是原始数据，标准化X，使其满足每一列数据的均值为0，然后计算每个类别内部的离散度矩阵Si和总体离散度矩阵S，Si和S的定义如下：
Si=(Xi-mi)(Xi-mi)T(2)
S=∑Si(3)
其中，mi表示第i个类别内部样本的均值，∑表示所有类别的样本均值。
LDA的目标是使投影后的类别内部离散度最小，类别之间离散度最大，其优化目标函数为：
J=(WTSW)-1(WTSB)(4)
其中，W是投影矩阵，W的值由后续计算得出，Sb和Sw是总体离散度矩阵和类别内部离散度矩阵，在二分类问题中，它们的定义如下：
Sb=(m1-m2)(m1-m2)T(5)
Sw=S1+S2(6)
其中，m1和m2分别表示第1类和第2类样本的均值，S1和S2分别表示第1类和第2类样本的离散度矩阵。
3.KPCA算法
KPCA（KernelPrincipalComponentAnalysis）是一种非线性降维算法，它采用核方法将原始数据映射到高维空间中，在高维空间中进行PCA分析。
与传统的PCA算法不同，核函数可以认为是一种隐式的映射函数，KPCA把原来的特征空间x映射成为高维的特征空间f(x)，对于某个数据样本x，它在高维特征空间f(x)中的点是：
Φ(x)=(k(x1,x),k(x2,x),…..k(xn,x))T(7)
其中，k(x1,x)表示核函数的值，f(x)可以看作是由k(x1,x),k(x2,x),….k(xn,x)组成的一组新的特征，对于这组新特征，它们的协方差矩阵可以通过特征向量分析来得到。
KPCA所要作的就是对降低维数后的新特征集合构造主成分分析，求出前k个主成分所对应的特征向量，并将原样本映射到该低维新特征空间上，得到降维后的样本。
4.KLDA算法
KLDA（KernelLinearDiscriminantAnalysis）是一种非线性分类算法，它将LDA算法中的欧几里得距离投影到了高维空间中，从而实现了非线性分类。
KLDA的核心在于采用核函数方法将数据映射到高维空间，然后在高维空间中运用LDA，实现非线性分类。
KLDA的核心优化目标是在高维空间中，最大化类间