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基于分形的高聚物裂纹尖端温度场建模与仿真
摘要：
本文针对高聚物裂纹尖端温度场建模与仿真问题，采用分形几何方法，建立了基于分形的高聚物裂纹尖端温度场模型，并实现了仿真程序。首先介绍了分形几何理论的基础知识以及在研究材料科学领域中的应用。然后，根据高聚物裂纹尖端的复杂形态特点，采用多重分形理论对其进行分析与建模。进一步，利用数值计算方法求解模型方程，得出了高聚物裂纹尖端的温度场分布图。最后，对仿真结果进行分析和验证，验证了模型的有效性和有效性。
关键词：
高聚物；裂纹尖端；温度场；分形几何；多重分形
Abstract:
Inthispaper,weusefractalgeometrytoestablishamodelofthetemperaturedistributionatthecracktipofhighpolymerbasedonfractalgeometry.Firstly,thebasicknowledgeoffractalgeometrytheoryanditsapplicationinthefieldofmaterialscienceisintroduced.Then,accordingtothecomplexshapecharacteristicsofhighpolymercracktips,multi-fractaltheoryisusedforanalysisandmodeling.Further,numericalcalculationmethodsareusedtosolvethemodelequationandthetemperaturedistributionmapofthecracktipisobtained.Finally,thesimulationresultsareanalyzedandverified,andthevalidityandeffectivenessofthemodelareverified.
Keywords:
Highpolymer;cracktip;temperaturefield;fractalgeometry;multi-fractal
正文：
1.引言
高聚物是现代材料科学中广泛应用的一类材料，其具有优异的力学性能、物理性能和化学性能，在机械工程、电气工程、化学工程等领域得到广泛应用。然而，高聚物材料在使用过程中容易出现裂纹现象，严重影响高聚物材料的强度和耐久性。因此，研究高聚物裂纹尖端温度场分布规律，对于深入揭示高聚物裂纹形成机制、预测高聚物裂纹扩展速度、开发新型高聚物材料等方面具有重要意义。
温度场是影响高聚物材料裂纹扩展行为的一个重要因素。在高聚物材料裂纹尖端处，由于裂纹尖端区域存在严重的应力集中和变形，会导致材料的能量密度增加，进而使材料局部温度升高。在高聚物材料中，由于分子间作用力的影响较大，温度场分布呈现出分形现象，即局部温度的变化具有无穷尺度的特点。因此，使用分形几何方法建立高聚物裂纹尖端温度场模型，能够更加真实地反映温度场的分布规律，对于深入了解高聚物裂纹尖端的温度场分布具有重要意义。
2.分形几何理论
分形几何是一种用来描述不规则物体形态的几何理论，具有自相似性、分形维数等特点。分形几何理论在描述复杂物体的形态时，比传统的欧几里得几何（Euclideangeometry）更适合。在材料科学领域，分形几何理论被广泛应用于纳米材料结构、多孔材料形态、疏松颗粒堆积等问题的研究中。
多重分形理论是近年来出现的一种新型分形几何理论，能够更加准确地描述自相似现象。在多重分形理论中，一个图形被分为若干个小分形，每个小分形的“大小”由一个叫做Holder指数的参数来描述。Holder指数是一个介于0和1之间的数，与分形维数密切相关。多重分形理论的主要优点是能够描述更加复杂的分形结构，适用范围更广。
3.建模过程
针对高聚物裂纹尖端温度场建模的问题，本文采用分形几何方法，借鉴多重分形理论，建立高聚物裂纹尖端分形模型，并通过数值计算方法求解该模型方程，进而获得高聚物裂纹尖端温度场的分布图。
3.1高聚物裂纹尖端分形模型
高聚物裂纹尖端呈现出分形特征，其温度场的分布也具有分形现象。在分析高聚物裂纹尖端温度场分布时，我们需要通过某种方法对裂纹进行分形分析。本文采用多重分形理论，通过分析高聚物裂纹尖端的形态，使用Holder指数来描述高聚物裂纹尖端的不规则程度。
图1高聚物裂纹尖端形态图
如图1所示，高聚物裂纹尖端存在多个分形尺度，使用不同的Holder指数来描述这些分形尺度，得到如下式子：
F(α)=f₀e(α-α₀)h₀+f₁e(α-α₁)h₁+...+fk-1e(α-αk-1)hk-1
其中F(α)表示分形谱，α表示不同的Holder指数，f₀、f₁、…、fk-1分别表