有阻尼的二阶脉冲无穷时滞泛函微分方程解的存在性.pdf

数学物理学报

2015，35A(1)：97—109http：／／attains．wipm．ac．cn

有阻尼的二阶脉冲无穷时滞泛函微分方程解的存在性

谢胜利
(安徽建筑大学数理学院合肥230601)

摘要：应用Kuratowski非紧性测度和分段估计方法，研究Banach空间中有阻尼的二阶脉冲
无穷时滞泛函微分方程mild解的存在性和正则性．脉冲项的紧性条件，先验估计和非紧性测
度估计的限制条件没有被使用，所得结果不同于许多已知的结果．作为应用，举了两个例子说
明该文的结果．
关键词：有阻尼的二阶脉冲泛函微分方程；Kuratowski非紧性测度；Mild解；古典解；强
解．
MR(2010)主题分类：34K30；34K40；35R10中图分类号：O175．15文献标识码：A
文章编号：1003—3998(2015)01—97-13

1引言

考虑Banach空间中一类有阻尼的二阶脉冲泛函微分方程初值问题(IVP)

fX／I()=Ax(t)+Bx)+9(￡，)，∈[0，6]，≠
{Ax(t~)=厶(t)，Ax{)=gi(x~)，i=1，2，⋯，仡，
【Xo=∈，Xt(0)=∈X，

IXII()：Ax(t)+Bx)+f(t，Xt，)，t∈[0，t≠ti
{Ax(t~)=厶(z△zi)=(zi=1，2，⋯，n，(1．2)
Ixo=∈，x'o=妒∈，

这里为中有界线性的强连续余弦算子族(())t∈碾的无穷小生成元，B：—是一
个有界线性算子，Xt，：(～。。，0]一X，t(0)=z(+0)和xi(O)=Xt(t+0)属于某个抽象
的相空间；厶∈c(B，)，∈c(13，X)(i=1，2，⋯，n)，g，f是适当的函数；0=t0<1<

⋯<￡<n+1=b是固定的数，Ax(tt)=(t)一()，其中x(q)和()分别表示()
在t=ti(i：l，2，⋯，礼)的右极限和左极限．Ax(ti)=X)一(f)具有相同的含义．
脉冲现象在现代科技各个领域的实际问题中是普遍存在的，其数学模型往往可归结为
脉冲微分系统．近年来，由于脉冲型泛函微分系统在力学，电子学，医学，生物学，生态学

收稿日期：2013—06—15；修订日期：2014—10—23
E—mail：[e-mail]
基金项目：安徽省自然科学基金(11040606M01)和安徽省教育厅自然科学重点基金(KJ2012A055)资助
98数学物理学报Vo1．35A

等领域有大量应用，已经成为重要的研究对象．关于这方面的研究，读者可参考文献[19]
及他们的参考文献．然而，在先前的这些研究结果中，作者为了得到mild解的存在性，相
关算子和脉冲项的紧性条件，先验估计的限制性条件被使用．例如，文献[5]研究了无时滞
的初值问题(1．1)和(1．2)mild解的存在性，相关算子和脉冲项的紧性条件，先验估计的限
制性条件，例如

一
=3NIIBIl+>(No+Ⅳc)<1，(1．3)

3Bll+Ⅳll口ll⋯唑。+(+NK
,z)<14)

在文献『5]中被使用．在文献[10—111中，作者使用Hausdorf非紧性测度和严格集压缩映射
的不动点定理得到了下列初值问题mild解的存在性

㈤+∞)]=)+，，￡∈10．6㈠≠
△z()一(zt)，Ax'(。)：(t)，：1，2，．．．，n，(1·5)

XO一∈B?z(O)=．

然而，脉}I}1项的非紧性测度条件，先验估计的限制条件(1．3)和(1．4)式以及非紧性测度估
计的限制性条件

L96+∑(Ⅳ2)I+／’叩(s)ds<1(1．6)
=1J”

仍然被使用．
本文应用Kuratowski非紧性测度和分段估计方法，研究Banach空间中有阻尼的二阶
脉冲无穷时滞泛函微分方程IVP(1．1)和IVP(1．2)mild解存在性的和正则性．脉冲项的紧
性条件，先验估计和非紧性测度估计的限制条件已经被删除，我们的结果改进和推广了文献
f5，81中相应的结果．作为应用，我们举两个例子说明本文的结果．

2预备知识

本文总假没是具有范数l1．IJ的Banach空间，为中有界线性的强连续余弦算子
族(㈩)R的无穷小生成元，强连续正弦算子族(s())t∈R由相应的余弦族(c(￡))∈腮定义为
㈩=：C(s)xds，∈X，t∈R．假定Ⅳ，Ⅳ是常数，使得对所有t∈=[0，b1，IIc(t)llN，
lFs(t)ll．关_『二余弦算子的相关概念，读者可参考文献[12]．通常用【D()]表示A的赋予
图像范数iA=j+ilAzll(∈D(A))的定义域．另外，记E：{∈X：(·)∈C}．在
文献『131中，Kisyiiski证明了空间赋予下列范数

iIE=llzll+sup{IAS(t)xl【，z∈E
0<t<b
是一