分段函数的光滑方法及其在曲线拟合中的应用.pdf

第33卷第3期西南民族大学学报·自然科学版Jun.2007
JournalofSouthwestUniversityforNationalities⋅NaturalScienceEdition
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文章编号：1003-2843(2007)03-0486-05

分段函数的光滑方法及其在曲线拟合中的应用

张兴元
(西南交通大学峨眉校区，四川峨眉614202)

摘要:在分析复杂实验数据时，常采用分段曲线拟合方法.利用此方法在段内可以实现最佳逼近，但在段边界上却可
能不满足连续性和可导性.为了克服这种现象，本文提出了一种分段函数的光滑算法，并给出了相应的误差分析.最后，
给出了该方法在分段曲线拟合中的应用方法以及凸轮实验数据自动分段拟合的应用例子.
关键词:分段函数;曲线拟合;函数光滑
中图分类号:O174文献标识码:A

在分析复杂实验数据时，常采用分段曲线拟合方法[1~5]，拟合结果在段内可以实现最佳逼近，但在段边界上
却可能不满足连续性和可导性.为了克服这种缺陷，文献[3，4]采采取了在分段拟合时添加连续和可导条件；文
献[5]采用的方法是将分段的区间分别向左和右延拓一个型值点，并使其在分段点上满足插值条件.

考虑区间[a，b]上分段函数f(x)，分段点为：ax≤01<<<=xxnb.f(x)在每个小区间上k阶连续可导，即

kki
f(x)∈C(,xiix+1)，在xi处最高只有kkkii(0≤≤)阶导数，记为f(x)∈C[]xi，且当kjki+≤1≤时，

()jjjj++−−()()()
fx(),(),(),()0fxiinfxfx存在.利用f(x)的这些信息，可以构造一系列相似结构的分段多项式qxi()，
g()xfxqxCab=+()()∈k[,]qx()fx()
使得∑i，并且希望i只引起在点xi及其附近的值发生微小变化，而其它的

点却不发生变化，并且能够改善xi的可导性.
1基本结果

⎛⎞n
BernsteinBxnnii()=−(1x)−xi,=0,1,...,nx=0,1[6]
由于基函数i⎜⎟在端点处具有好的性质，首先想到它并曾
⎝⎠i
⎛⎞n
qx()Bxn()n.qx()
试验将i直接取为i，但效果很差，经分析后认为是的不易确定以及⎜⎟较大造成的为了定义i，
⎝⎠i
先定义下面一组多项式：

设kN∈,定义[0,1]上的多项式集合

B=={ϕψjj(xxjk),()|0,1,..,}，
1
其中ϕ()x=−xxjj(1)+1，ψϕ()x=−(1x).
jj!jj
n
多项式ϕψjj(),x()x在端点x=0,1处有与Bj()x相似的性质.

()ss()()sss()
性质1当0≤≤sj时，ϕδϕjjsj(0)==,,(1)0，ψjj(0)==−0,ψδ(1)(1)js,，

其中δj,s为Kronecker记号.
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收稿日期：2007-02-05
作者简介：张兴元(1971-),男,西南交通大学峨眉校区讲师.

第3期张兴元：分段函数的光滑方法及其在曲线拟合中的应用487
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证明只需要对ϕψjj(),x()x逐次求导即可.

又设Pab21k+([,])表示[a,b]上的次数小于等于2k+1的多项式全体，按照多项式的加法和数乘运算，

Pab21k+([,])构成一个2k+2维线性空间，并有如下基本定理.

定理1(i)B=ϕ{jj(xxjk),ψ()|=0,1,..,}构成P21k+([0,1])的一组基；

(ii)Bα=={ϕαjj((xxjk)),ψα(())|0,1,..,}构成Pab21k+([,])的一组基，
xa−
其中α()x==−,hba，
h

证明(i)由于BP⊂21k+([0,1]),dim(([0,1]))()P21k+=cardB并且B是线性无关的，因此

B=={ϕψjj(xxjk),():0,1,..,}构成P21k+([0,1])的一组基.

(ii)由于Bα⊂Pab21k+([,]),dim(P21k+([a,b]))=card(Bα)并且Bα线性无关的，因此

Bα=={(()),(())|0,1,..,}ϕαjjxxjkψα构成Pab21k+([,])的一组基.

由定理1，对于任意p()xP∈21k+([,])ab，p()x可由Bα线性表示为：
k
.(1)
p()xcxdxxab=+∈∑(jjϕα(())jψα