一类化学反应扩散系统解的存在性及渐近性Ξ.pdf

第14卷第2期纯粹数学与应用数学Vol114No12
1998:76—81PureandAppliedMathematics1998:76—81

一类化学反应扩散系统解的存在性及渐近性X

杨万利

(解放军装甲兵工程学院数学室,北京,100072)

摘要研究一类化学反应扩散系统解的整体存在性及长时间解的渐近行为1

关键词反应扩散系统上、下解渐近性
分类号O175

1引言

B.P.Belousov和A.M.Zhabotinskii于早期的化学研究中,提出如下一类溴酸盐氧化反
应扩散系统1

ut-D1△u=u(a′1-b′1u-c′1v)+q′1v.

vt-D2△v=-c′2uv+d′2w-q′2v.(111)

wt-D3△w=b′3u-d′3w.
此处,系统中系数均为正常数1目前,有关这类系统研究的最好结果是W.H.Ran和C.V.
Pao[2],那里,他们给出了解的整体存在性,且证明了系统(111)在t→∞时解渐近收敛到零的
充分条件是

(K0-a′1)(K0+d′3)(K0+q′2)≥b′3d′2q′1.(112)

K0表示△U+KU=0,BU=0的第一特征值1
我们所感兴趣的则是:若不控制反应物浓度是定常的,且适当增加一些催化作用时,其长
时间解的渐近行为.即如下带梯度项且系数是变系数情形的反应扩散系统

R1ut-△u+r1divu=u[a1-b1u-c1v]+q1v

R2vt-△v+r2divv=-c2uv+d2w-q2v

R3wt-△w+r3divw=b3u-d3wt>0,x∈8(113)
Bu=Bv=Bw=0t>0,x∈58
u(0,x)=u0(x),v(0,x)=v0(x),w(0,x)=w0(x),t=0,x∈8
o
其中,Ri是正常数;ai、bi、ci、di、qi是8×[0,∞)上连续且有界的正函数;B=A05ö5n+B0为58

上算子,A0、B0≥0,A0+B0>0,no=(cosH1,⋯,cosHN)为58向外法向量;Cj为常数,且
N
B0Cj∑cosHi≥0,j=1,2,3.
i=158

X本文收到日期:1996201217.
—67—
©1995-2004TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.
1998年杨万利一类化学反应扩散系统解的存在性及渐近性6月

本文目的在于,寻求一般情况下,系统(113)的解渐近收敛到零的充分条件,从而改进推
广以往结论1

2解的整体存在性

本段我们采用上、下解的方法给出解的整体存在性1
为方便记:
0
Li>Ri5ö5t-△+Cidiv.i=1,2,3,
给出上、下解定义如下
定义211一对[C2([0,∞)×8)]3函数(u,v,w)和(u,v,w)分别称为系统(113)的上解
和下解,如果(u,v,w)≥(u,v,w),且
0
L1u≥u(a1-b1u-c1v)+q1v.

0
L2v≥-c2uv+d2w-q2v.

0
L3w≥b3u-d3w.
及(211)
0
L1u≤u(a1-b1u-c1v)+q1v.

0
L2v≤-c2uv+d2w-q2v.

0
L3w≤b3u-d3w.
且满足如下边界、初始不等式
Bu≥0≥Bu;Bv≥0≥Bv;Bw≥0≥Bw.

u(0,x)≥u0(x)≥u(0,x);v(0,x)≥v0(x)≥v(0,x);w(0,x)≥w0(x)≥w(0,x).
如下,构造单调列,以期给出解的整体存在性1
令:

C1=max{2b1u+c1v-a1;u≤u≤u,v≤v≤v}.
(t,x)∈[0,∞)×8

C2=max{c2u+q2}.
(t,x)∈[0,∞)×8

C3=max{d3}.
(t,x)∈[0,∞)×8

作算子Li如下:
0
Li>Li+Ci,i=1,2,3.
类似于[1]—[4],做迭代列,可得如下结论1
定理211令(u,v,w)和(u,v,w)是系统(113)满足定义(211)的一对上、下解,则系统
(113)存在唯一解(u,v,w)满足
(u,v,w)≤(u,v,w)≤(u,v,w),(t,x)∈[0,∞)×8.
为此,若使系统(113)的解整体存在,只需寻找系统的一对上、下解即可1从而,我们的主
要任务应是寻求上、下解1为此,考察如下系统
0
L1U=U(a1-b1U)+q1V.
0
L2V=d2W-q2V.(212)
0
L3W=b3U-d3W.(t,x)∈[0,∞)×8.
—77—
©1995-2004TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.
第14卷纯粹数学与应用数学第2期

BU=BV=BW=0,(t,x)∈[0,∞)×58.(213)

U