捕食—食饵系统的两种群同时捕获的最优化问题.pdf

第33卷第1期东北师大学报自然科学版v01．33No．1

2001年3月JOUP~NALOFNORTHEASTNORMALUNIVERSITYMarch200l

[文章编号]1000—1832~2001)01．0001—05
捕食一食饵系统的两种群同时
捕获的最优化问题

柏灵，李晓月，杨帆，王克。
(1．吉林大学朝阳校区数学系．吉林长春130026
2．东北师范大学数学系，吉林长春130024；
3．通化师范学院数学系，吉林通化134002)

[摘要】对连续的捕食一食饵系统的奇点进行了定性的分析，从生态学意义
上解释了中心奇点外圄周期解的存在性．另外，给出了对此系统的两个种群同时
进行捕获时得到的最大持续收益的条件．
[关键词】捕食一食饵系统；平衡点；周期解；稳定性；最大持续收益
[中图分类号]O175．12[文献标识码]A

更新资源的最优化管理直接关系到资源的可持续性发展问题，在经济学和生物学方
面都具有重大的意义_lj，许多学者对此进行了广泛而深^的研究工作，取得了很多优秀
成果【2J．从目前已有的文献来看，单种群的研究工作较为全面，但由于多种群出现了更
复杂的种群相互作用关系，因此研究难度较大，其成果不甚理想．例如．对于两种群的竞争
系统，文献【2]提供了很好的研究思路，但这并不适用于其它类型的多种群系统．即使是简
单的无密度制约的捕食一食饵系统也不适用．为此本文另辟蹊径，主要研究了对连续的无
密度制约的捕食一食饵系统的两个种群进行捕获时，应该如何投^才能使经济效益最大．
所得结果较为简捷，具有一定的现实意义．
1模型的建立
设z(t)，Y(t)分别表示在时刻￡食饵和捕食者种群存量，并且假定开始时刻若不存
在捕食者(t)时，食饵种群z(f)的增长符合Multhus方程，即
譬：“(‘t)，
其中n为一正常数，即内禀增长率．当捕食者存在时，单位时间内捕食者对食饵的吞食量
与捕食的食饵种群(t)成正比(设比例系数为b)，于是
dx
：“一=z(n一)．

同理．假定开始时刻无食饵种群，捕食种群将因缺少食物而死亡，捕食种群的死亡率与种

[收藕日期】2000—07—21
[基盘项目】国家自然科学基金资助项目(198710t2)
[作者篱介】柏灵(1973一)．女，硕士；王克(1949一)．男，博士．教授，博士研究生导舜．主要从事泛函赦分方程方
面的研究．

2东北师大学报卣擦科学版第33卷

群规模(t)成正比，比例系数为d；当食饵种群存在时，捕食者吞食食饵后以供给自身的
繁殖增长，设与-z(t)，(t)的比例系数为c，从而

cxy—dyy(cx—)．

这样我们得到了捕食一食饵系统两种群相互作用所构成的模型：
ldx(n一)；
(1)
Id=y(cx—d)．
t
这是一个简单的线性化方程，并且无密度制约，一般仅适用于非常简单的初等种群。
但却为我们提供了有益的研究方向，因此很有必要进一步分析这个模型．
现将上述模型加人捕获项，并且假设单位时间内捕捞量(产量)与两个种群存量成正
比，设捕捞强度分别为E，E，因此，系统(1)的方程变为
i=一by)一Ex；
(2)
I鲁=(cx—)一kEy
其中n，b，c，d，，E均是正常数，且n>E．由(2)得到
fId出x=(口一E—by)=^J(⋯，)；
(3)
jldt：(、一“—kE+c⋯z)=f2(，’)

2奇点分析
奇点(-z，)即是方程^(-z，)=f2(-z，)=0的解．由方程(3)-nINNj2个奇点
PI(o，0)和P2(+一，口一)，其中P2是正的平衡点，位于第一象限，根据文献[5]，-nI
证明方程(3)不可能存在极限环和奇异极限环，又有关联矩阵

A：『＼口一E—by一缸1．
cy—d一坦+口“’，’)
当IA一I=0时，用Pl(0，0)代人得两个根：l=n—E>O，2=一(d+kE)<0，因此

Pl(0，0)是鞍点(不稳定)．同理，当IA—all=o，用P2(，璺-)代人得到
l一一bd+kEl
IA一II=ln—E，。l：o·
6l
l，2是共轭虚根，m：±厂=丽i．
因此，P2(}堕，旦一)是中心，即在第一象限内部，P2的外围将会有一系列稠密
的闭轨线环绕，系统(3)的解-z：x(t)，：()都是周期解，不同的闭轨对应着不同的周
期．从生态学意义上看．只要在初始时刻捕食、食饵种群z(O)>O，v(O)>O，周期解正表

第1期柏更等：捕食一食饵系统的两种群同时捕获的最优化问题3

明捕食、食饵两个种群的规模是互相制约着周而复始地循环振荡，没有一种会灭绝，也没
有一种会无限增长，这是一种动态的平衡状态．
3最优捕获策略
以下讨论如何控制E，使持续产量(或利润)最大，而在某一个固定的周期T内，持续
产量表为
y=J(IE()+