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一类人口模型整体解的存在唯一性

陈梁
(绍兴文理学院数学系,浙江绍兴312000)

∂p(t,x)∂p(t,x)
摘要本文讨论了具有竞争因素的偏微分方程人口模型+=−(d(x)+KP(t))p(t,x)，
∂t∂x1
A
其中初始条件和边界条件分别为p(0,x)=p0(x)，p(t,0)=[b1(ξ)−b2(ξ)P(t)]p(t,ξ)dξ.得
∫a
到了方程解的表达式，证明了整体解的存在唯一性.
关键词偏微分方程存在唯一性竞争因素特征线法一致收敛性逐次逼近

§1引论

20世纪以来,世界人口高速增长,随之带来的是生态环境和经济增长的压力巨增.人口数
量是全世界普遍关注的问题之一.我国是世界第一人口大国,控制人口快速增长是一项艰巨的
任务.借助数学工具,用定量描述方法预测人口发展,对控制人口数量极其有用.
一、历史回顾
对人口定量分析，可追溯到300年以前当时的格兰特（JohnGraunt,1662）、欧拉（Leonhard
Euler,1767）等均对人口作过定量分析.1788年，英国经济学家和社会学家马尔萨斯（Thomas
RobertMalthus1766-1834）发表《人口论》,其中的人口发展方程是研究人口较早的数学模
型.马尔萨斯得到人口数量为:

P(t)=Aekt（A−1）

其中,P(t)表示第t年时的人口数.

马尔萨斯由此得到结论:人口数量是按几何级数增加的.该模型对19世纪以前的人口拟
合得较好，但对于长期预测是不合理的.因为随着人口大量增加,人口内部竞争和自然资源、
环境条件的的制约的影响将越来越明显,马尔萨斯没有考虑到这一点,所以该模型是失败的.
二、偏微分方程模型
用偏微分方程模型研究人口数量,是较为成熟,准确的一种方法.

设在一地区内,P(t,x)表示该地区时刻t,年龄小于x的人口总数.x表示年龄,t表示

时间.
∂P(t,x)
令p(t,x)=,称为人口年龄分布密度函数,简称人口密度函数.得到了一个基本的人
∂x
口方程:
∂p(t,x)∂p(t,x)
+=−μ(t,x)p(t,x)
∂t∂x

t=0:p(0,x)=p0(x)（B−1）

x=0:p(t,0)=ϕ(t)=u(t)N(t)

1
M(t,x,Δx)ϕ(t)
其中μ(t,x)=lim,称为相对死亡率函数.u(t)=,称为相对出生率函数
Δx→0p(t,x)ΔxN(t)

因为考虑到人口数量是巨大的,此时应该考虑人类自身的竞争因素以及环境影响,人口的
出生率和死亡率将会发生变化,根据前人的经验,我们将（B−1）优化为:
∂p(t,x)∂p(t,x)
+=−(d(x)+d(x)P(t))p(t,x)0≤x≤A,t≥0
∂t∂x12

t=0:p(0,x)=p0(x)0≤x<A（B−2）

A
x=0:p(t,0)=[b1(ξ)−b2(ξ)P(t)]p(t,ξ)dξt≥0
∫a

这里的A为人能活的最大年龄.d1(x)为天然死亡率,d2(x)是竞争死亡率.且

d1(x),d2(x)≥0.

A
P(t)=p(t,x)dx.
∫0

本文假设由竞争引起的死亡率对不同年龄的人影响相同,即令d2(x)=K.

本文将运用逐次逼近法得到方程的解,并证明其一致收敛,最后得到整体解的存在唯一
性.

§2解的存在收敛性

一、解的存在性
本文考虑定解问题:
∂p(t,x)∂p(t,x)
+=−(d(x)+KP(t))p(t,x)0≤x≤A,t≥0(C−1)
∂t∂x1

t=0:p(0,x)=p0(x)0≤x<A(C−2)

A
x=0:p(t,0)=[b1(ξ)−b2(ξ)P(t)]p(t,ξ)dξt≥0(C−3)
∫a

A
其中P(t)=p(t,x)dx
∫0
设成立如下零阶相容性条件:
A
p0(0)=[b1(ξ)−b2(ξ)P(0)]p0(ξ)dξ(C−4)
∫a
和一阶相容性条件:
A
(0)(0)'
p0'(0)+d1(0)p0(0)=[−b2P'p0(ξ)+(b1(ξ)−b2(ξ)P(t))(p0(ξ)+d1(ξ)p0(ξ))]dξ
∫a
(C−5)
并设如下条件:

1.在区间[0,A]上,p0(x)≥0,且适当光滑,当x→A−0时p0(x)=0.

2
2.在区间[0,A]上d1(x)≥0,0≤d2(x)≤β,且适当光滑,当x→A−0时,d1(x)→∞,并

x
使d1(ξ)dξ→∞.
∫0

3.在区间[a,A]上,0≤b1(x)≤δ,0≤b(x)≤x,且适当光滑.

接下去,运用特征线法和逐次逼近法求解.
A
1)取P0(t)=p0(x)dx=C,考虑定解问题:
∫0

∂p(1)(t,x)p(1)(t,x)
+=−(d(x)+KP(0)(t))p(1)(t,x)0≤x≤A,t≥0(C−1)
∂t∂