定义域曲面上光滑插值方法.pdf

2001年12月高等学校计算数学学报第4期

定义域曲面上光滑插值方法X

唐月红
(南京航空航天大学理学院,南京210016)

ALGORITHMOFSMOOTHINTERPOLATION
RESTRICTEDONSURFACES

TangYuehong
(CollegeofSciences,NangjingUniversityofAeronautics
&Astronautics,Nanjing210016)

AbstractTheproblemofconstructingafunctionrestrictedonasmoothsurface
whichinterpolatestoacollectionofscatteredfunctionaldataonthesurface2in
threedimensionalrealspaceisdiscussed.Themainmethodisfirsttofind

interpolantoncylinder20bytwodifferentmappingsof20toplanardomainsD,
andtheblendingthesetwoplanarinterpolants,andthentoforminterpolating

functionon2byone2to2onecorrespondencebetweenthe20and2.Theoriginal
problemisturnedtothegeneralinterpolationproblemonplane.
Keywordscomputationalgeometry,topologicalmapping,surfaceonsurface.
AMS(1991)subjectclassifications65D05,41A63.
中图法分类号O181,O29,Tp391.7

1引言

限制在光滑曲面的函数插值是计算几何中一个较新研究方向,有广泛的应用前景1如
飞机机翼上压力估算;人体表面的温度分布;分析地球上的降雨量以及大气层的“温室效
应”,包括臭氧层的估计等1目前,已有一些解决它的方法,其中大部分方法是构造球面上插
值函数[1,2,3],主要思想是用大圆弧代替直线段,从而将欧氏空间中已有的插值方法推广到
球面上构造插值函数,这种方法最大的缺陷是难以推广到一般的曲面上,因一般曲面上两点
间测地线不易求出1还有一些方法[4,5,6]是基于曲面的三角或四面体划分,有相对多得多的
插值函数片,计算十分复杂1

X收稿日期:2000-02-21.
2001年12月高等学校计算数学学报·113·

本文利用变换和加权混合技巧,给出一类曲面上插值函数构造方法,基本思路是:先建
23
立D<R→R且象集分别为20及2的适当变换,然后,构造两个不同的映射:20→D,通过
2
加权混合平常R上的两个插值函数构造20上的曲面插值,再由20→2的一一映射最后获

得2上的插值函数,作者还将该文理论用于解决带座舱盖机身表面上的压力系数Cp值分
布估算问题,获得成功1

2问题的提出及算法

4n
设2为一光滑双侧曲面,称为定义域曲面,对于一给定的点集{(pi,fi)∈R}i=1,且pi∈

2,构造一光滑函数F(p),p∈2,使其满足:F(pi)=fi(i=1,2,⋯,n)1F(p)被称为曲面上的
插值函数1因P是曲面2上的点,因而p也是三维空间R3中的点(x,y,z),从而F(p)是一
个三元函数,但F(p)仍旧被约束在定义域曲面2上,故F(p)又被称为定义域曲面上的曲
面1
算法
23n
step1:建立D<R→R且象集为2的一一映射R,求R下的一组原象{qi}i=1={ui,
n
vi}i=1,使R(qi)=p.i
23qq
step2:建立D<R→R且象集为圆柱面20的一一映射S,计算pi=S(qi),pi∈20,qi∈
D,i=1,2,⋯,n.
vqqvq
step3:求插值函数F(p),p∈20,使F(pi)=fi,i=1,2,⋯,n
step4:返回2,对Pp∈2,求q∈D,使R(q)=p,定义F(p)=Fv(S(q))即为所求2上插
值函数1

3R2→2拓扑映射的构造

22
不失一般性,取单位圆柱面20:x+y=1(0≤z≤1),因半径为R的任意圆柱面总可以
进行线性变换转换成单位圆柱面1
{
设矩形域:D1:-P≤H≤P,0≤z≤1和圆柱面20
{
建立映射:G1:D1→20如下:

G1(H,z)=(cosH,sinH,z)=(x,y,z)∈20(1)
{
图1图2作出了D1与20的图形,图1中矩形两边A′C′A′,B′D′B′被分别映射到图2的圆周

ACA,BDB,左右两条边A′B′被映射到图2中同