三维Helmholtz积分方程外问题几乎奇异积分的半解析算法.docx

三维Helmholtz积分方程外问题几乎奇异积分的半解析算法
一、引言
在电磁场计算中，Helmholtz积分方程是一种常用的数值求解方法。然而，该方程通常会遇到与本征波数相近的波数时的奇异积分问题，在传统数值方法下收敛速度很慢，常常需要高密度离散化以获得足够的精度，很难处理大型场问题。因此，对三维Helmholtz积分方程外问题几乎奇异积分的半解析算法的研究具有重要的理论和实用意义。
本文将首先介绍Helmholtz积分方程的基本概念和离散化、奇异积分问题，然后分析半解析算法的主要思想和算法流程，并结合数值计算实验验证了该算法的有效性。
二、Helmholtz积分方程的离散化
Helmholtz积分方程是求解一般导数边界值问题时常用的一种方法。对于一个导数边界值问题，设在边界S上成立的功率流密度为g，场的球面波函数为G(x,y)，则有：
∫G(x,y)g(y)dy=f(x),x∈S
其中f(x)为外部场源，G(x,y)为远场格林函数，可表示为：
G(x,y)=exp(ikr)/r
其中k为入射波数，r为x与y之间的距离，r=|x-y|。
为了离散化Helmholtz积分方程，通常采用Galerkin法或边界元法，这两种方法都是将S离散化为无数个简单形状的面元，计算出每个面元上的g和f，最终通过求和得到整个边界上的场解。
然而，当边界面元的尺寸与波长相比很小时，G(x,y)会有非常大的变化，而g通常相对平滑，这导致了离散化后得到的积分项变得非常奇异，很难保证数值计算精度和收敛速度。
三、奇异积分问题
在Helmholtz积分方程中，当源点与积分点之间的距离趋于零时，格林函数G(x,y)会趋于无穷大，表现为一种奇异性。具体来说，比较常见的奇异性包括：1.第一类奇异性，当源点与观测点重合（x=y）时，G(x,y)与其导数具有奇异性；2.第二类奇异性，当积分变量y趋向于边界上的顶点时，G(x,y)会出现奇异性。
对于第一类奇异性，常常使用L1规范化方法进行处理；对于第二类奇异性，可以通过增加奇异积分核或者使用奇异积分预处理器等方法进行处理。这些方法虽然可以缓解奇异积分问题，但通常需要大量的计算资源和时间，收敛速度较慢。
四、半解析算法
半解析算法利用边界点的特殊性质来求解Helmholtz积分方程，在避免低频病态问题的同时，保证了高精度和高效率。
半解析算法的基本思想是将边界上的每个点划分为两组，一组为内部点，距离场源较远，G(x,y)基本呈平面波，可以直接计算；另一组为近场点，距离场源较近，G(x,y)显著受到相位差的影响，具有明显的振荡性，这二者可以通过引入阶梯函数的方法来进行计算。
具体来说，对于近场点与场源的距离，设阈值为r0，则当r<r0时，可以使用内部点的级数展开结果来代替真实解，此时问题转化为常微分方程求解问题。当r>r0时，才使用边界积分计算。
该方法在计算边界积分项时可以大大减少奇异积分的贡献，缩小了边界元的尺寸与波长的比值，提高了计算精度和收敛速度。
五、数值计算实验
为了验证半解析算法的有效性，本文使用COMSOLMultiphysics进行数值计算实验，对一个球形型边界上的散射物进行求解。源在10GHz、-45度正弦方波（带宽2GHz）。
计算结果如下图所示，其中，第一张图中的红色线为半解析算法的计算结果，蓝色线为传统方法的计算结果。可以看出，与传统方法相比，半解析算法的计算精度更高，且计算速度更快，对于复杂的场问题，解决速度和精度的平衡问题，该算法有一定实际应用价值。
六、结论
本文介绍了Helmholtz积分方程的基本结构和离散化方法，分析了在边界元尺寸很小的情况下出现的奇异积分问题。接着，本文重点介绍了半解析算法的基本思想和实现过程，并指出了该算法解决数值问题的优势和面临的挑战。最后，结合数值计算实验，验证了该算法的有效性。相信随着计算机硬件和软件技术的不断提高，半解析算法在求解Helmholtz积分方程的实际工程应用中也会越来越广泛。