第40讲 不定方程.pdf

第40讲不定方程一、知识要点当方程的个数比方程中未知数的个数少时我们就称这样的方程为不定方程。如5x－3y＝9就是不定方程。这种方程的解是不确定的。如果不加限制的话它的解有无数个；如果附加一些限制条件那么它的解的个数就是有限的了。如5x－3y＝9的解有：x＝2.4x＝2.7x＝3.06x＝3.6y＝1y＝1.5y＝2.1y＝3如果限定x、y的解是小于5的整数那么解就只有x＝3Y＝2这一组了。因此研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。解不定方程时一般要将原方程适当变形把其中的一个未知数用另一个未知数来表示然后再一定范围内试验求解。解题时要注意观察未知数的特点尽量缩小未知数的取值范围减少试验的次数。对于有3个未知数的不定方程组可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。解答应用题时要根据题中的限制条件（有时是明显的有时是隐蔽的）取适当的值。二、精讲精练【例题1】求3x+4y＝23的自然数解。23－3x先将原方程变形y＝。可列表试验求解：4X1234567Y5×××2××所以方程3x+4y＝23的自然数解为X=1x=5Y=5y=2练习11、求3x+2y＝25的自然数解。加入畅学社群微信558185942、求4x+5y＝37的自然数解。3、求5x－3y＝16的最小自然数解。【例题2】求下列方程组的正整数解。5x+7y+3z＝253x－y－6z＝2这是一个三元一次不定方程组。解答的实话要先设法消去其中的一个未知数将方程组简化成例1那样的不定方程。5x+7y+3z＝25①3x－y－6z＝2②由①×2+②得13x+13y＝52X+y＝4③把③式变形得y＝4－x。因为x、y、z都是正整数所以x只能取1、2、3.当x＝1时y＝3当x＝2时y＝2当x＝3时y＝1把上面的结果再分别代入①或②得x＝1y＝3时z无正整数解。x＝2y＝2时z也无正整数解。x＝3时y＝1时z＝1.所以原方程组的正整数解为x＝1y＝1z＝1加入畅学社群微信55818594练习2求下面方程组的自然数解。1、4x+3y－2z＝72、7x+9y+11z＝683x+2y+4z＝215x+7y+9z＝523、5x+7y+4z＝263x－y－6z＝2【例题3】一个商人将弹子放进两种盒子里每个大盒子装12个每个小盒子装5个恰好装完。如果弹子数为99盒子数大于9问两种盒子各有多少个？两种盒子的个数都应该是自然数所以要根据题意列出不定方程再求出它的自然数解。设大盒子有x个小盒子有y个则12x+5y＝99（x＞0y＞0x+y＞9）y＝（99－12y）÷5经检验符合条件的解有：x＝2x＝7y＝15y＝