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求解无约束最优化问题的非奇异Broyden算法的全局收敛性
非线性无约束优化问题在现代数学和工程领域中有广泛应用。随着科技的不断发展以及对实际问题的深入研究，无约束最优化问题的求解变得越来越重要。非奇异Broyden算法是一种求解无约束最优化问题的有效方法，并且具有全局收敛性。本文将对非奇异Broyden算法的全局收敛性进行探讨。
首先，我们来了解一下Broyden方法和非奇异Broyden算法的基本思想。Broyden方法是非线性无约束优化问题的一种有效算法。其基本思想是利用原函数中所有点的导数来逼近Hessian矩阵。相应的，非奇异Broyden算法是在Broyden方法的基础上进行改进的。其主要思想是通过Broyden方法的迭代过程中，去掉不可逆的缩放因子，并使用正则化的方法来计算所需的矩阵逆。这样，非奇异Broyden算法不仅能够保证迭代的全局收敛性，还能使每一次迭代的步长和方向都具有良好的性质，从而使得算法更加稳定和收敛更快。
其次，我们讨论非奇异Broyden算法的全局收敛性证明。其全局收敛性证明是通过两个步骤来完成的。首先，证明当目标函数是光滑的时，非奇异Broyden算法是局部收敛的。其次，证明非奇异Broyden算法具有全局收敛性。非奇异Broyden算法的收敛性分析主要基于局部收敛性以及Broyden方法对称性矩阵迭代的收敛性。
对于第一步，我们可以通过证明Hessian矩阵是正定的来证明非奇异Broyden算法的局部收敛性。如果Hessian矩阵是正定的，那么对于迭代中出现的任何点，其邻域内的目标函数值都会继续下降。此外，我们可以利用Taylor级数的几何性质以及目标函数的光滑性证明Hessian矩阵的正定性。
对于第二步，我们需要证明非奇异Broyden算法具有全局收敛性。该证明基于Broyden匀速迭代的收敛性，以及Broyden方法对称性矩阵迭代收敛的性质。Broyden匀速迭代的收敛性可以通过上下界方法证明。Broyden方法对称性矩阵迭代的收敛性可以通过证明任何一个对称矩阵都可以通过对称正交变换转化为一个对角矩阵来证明。这样，我们可以得出非奇异Broyden算法具有全局收敛性的结论。
综上所述，非奇异Broyden算法是一种有效的非线性无约束优化问题求解算法。其主要思想是通过Broyden方法的迭代过程中去掉不可逆的缩放因子，并使用正则化的方法来计算所需的矩阵逆来保证迭代的全局收敛性。非奇异Broyden算法的全局收敛性证明是通过证明非奇异Broyden算法的局部收敛性和Broyden方法对称性矩阵迭代收敛性来完成的。该算法具有较快的收敛速度和稳定性。