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陀螺的力学原理及其生活中的应用
学号：05110202
姓名：史泽清

一．摘要：陀螺与地面只有一个接触点，但是却不会翻倒，就是因为其在绕轴不停旋转，本文运用理论力学中的动力学知识来对其进行分析。此外陀螺力学在生活中有各种各样的应用。在我们开得车，骑的自行车，乘坐的飞机中都有着广泛的应用。相信将来陀螺效应在科学研究上产生更重要更深远的影响。

二．关键词：陀螺理论力学进动翻转不倒

正文：

在准备写这篇论文，正好看到了战斗陀螺这部动画片，然后联系到了我们小时候玩过的陀螺：当我们用力抽打陀螺时，陀螺非但不会倒下，反而会越抽越稳，我就意识到其中有非常有趣的力学知识，于是写下了这篇文章。
1陀螺的力学特点
1.1陀螺的定义：绕质量对称轴高速旋转的定点运动刚体
结构特征：有质量对称轴.
运动特征：绕质量轴高速转动（角速度大小为常量）。
陀螺的动力学特征：陀螺力矩效应，进动性，定向性。
进动性是陀螺仪在外力矩的作用下的运动特征，然而陀螺仪是一个定点转动的刚体，因而，它的运动规律必定满足牛顿第二定律对于惯性原点的转动方程式,即定点转动刚体的动量矩定理.

进动本为物理学名词，一个自转的物体受外力作用导致其自转轴绕某一中心旋转，这种现象称为进动。进动(precession)是自转物体之自转轴又绕著另一轴旋转的现象，又可称作旋进。

下面就右图就进动分析：
陀螺绕起对称轴以角速度w高速旋转，如右图
对固定点O，它的动量矩L近似
（未计及进动部分的动量矩）
表示为

式中J为陀螺绕其对称轴Z0的转动惯量，为沿
陀螺对称轴线的单位矢量其指向与陀螺旋转方向间满足右螺旋
法则作用在陀螺上的力对O点的力矩只有重力的力矩M0(P)，
其大小为
M0(P)=

(b为o点到转动物体质心的距离，m为物体的质量)
按动量矩定理有，可见在极短的时间内,动量矩的增量与M0(P)平行，也垂直与L,见上图。这表明，在时间内，陀螺在重力矩M0(P)作用下，其动量矩L的大小
不变，但L是矢量（还有陀螺的对称轴线）绕直轴Z转过了dθ（即图中的dF）角，这样
的运动就是上面说的进动。

事实上由于：
，而且故有
可以得到公式：

若陀螺自转角速度保持不变，则进动角速度也应保持不变，实际上由于各种摩擦阻力矩的作用，将使不断的减小，与此同时，进动角速度也将增大，进动将变的不稳定。对于上述分析只适应于自转角速度比进动角速度大的多得情况。
而且可以得到结论

1.2陀螺原理：
玩过陀螺的人都知道，要让陀螺立起来，必须不断地用外力抽打，一旦失去外界力量的帮助，陀螺很快就会倒下来。陀螺在旋转的时候，不但围绕本身的轴线转动，而且还围绕一个垂直轴作锥形运动。也就是说，陀螺一面围绕本身的轴线作“自转”，一面围绕垂直轴作“公转”。陀螺围绕自身轴线作“自转”运动速度的快慢，决定着陀螺摆动角的大小。转得越慢，摆动角越大，稳定性越差；转得越快，摆动角越小，因而稳定性也就越好。这和人们骑自行车的道理差不多。其中不同的是，一个是作直线运动，一个是作圆锥形的曲线运动。陀螺高速自转时，在重力偶作用下，不沿力偶方向翻倒，而绕道支点的垂直轴作圆锥运动的现象，就是陀螺原理。
1.3陀螺效应：
就是旋转着的物体具有像陀螺一样的效应。陀螺有两个特点进动性和等轴性。当高速旋转的陀螺遇到外力时，它的轴的方向是不会随着外力的方向发生改变的，而是轴围绕着一个定点进动。大家如果玩过陀螺就会知道，陀螺在地上旋转时轴会不断地扭动，这就是进动。简单来说，陀螺效应就是旋转的物体有保持其旋转方向（旋转轴的方向）的惯性。

2陀螺效应的实际应用

2.1直升机的陀螺理学：
直升机飞行的基本原理是利用主旋翼可变角度产生反向推力而上升，但对机身会产生扭力作用，于是需要加设一个尾旋翼来抵消扭力，平衡机身。这就用到陀螺仪了，它可以根据机身的摆动多少，自动作出补偿讯号给伺服器，去改变尾旋翼角度，产生推力平衡机身。以前，模型直升机是没有陀螺仪的，油门、主旋翼角度和尾旋翼角度很难配合，起动后便尽快往上空飞，如要悬停就要控制杆快速灵敏的动作，所以很容易撞毁，现在已有多中直升机模型使用的陀螺仪，分别有机械式、电子式、电子自动锁定式。

2.2弹丸稳定飞行
为了提高设计精度，最重要的就是要使弹丸稳定飞行，可从陀螺中获得启示。如果赋予弹丸一定的旋转速度，则弹丸出炮口后一面靠初速V0作惯性飞行，一面又绕其弹轴高速旋转，其运动状况与旋转的陀螺相似。弹轴相当于陀螺轴，弹道切线相当于垂直轴，使弹丸翻转的力矩相当于使陀螺倾倒的重力矩，二者的运动对比情况见图。这样，弹丸在空中飞行时，高速自转且绕弹道切线(速度矢量V)公转(进动)，弹轴本身在空间一面转圈，一面摆动，使弹丸在空中不再翻转而作有规律地飞行。弹轴与弹道切线间的攻角δ处于周期性的变化中，而不再是单调增大。这