非线性方程的不动点迭代方法研究.docx

重庆文理学院
2011-2012下学期《数值方法》课程论文

题目：非线性方程的不动点迭代方法研究

学科专业：信息与计算科学
指导教师：
学生：
学号：

中国﹒重庆
2012年06月
摘要
通过从现实的一个球体的实际问题引出对非线性方程的不动点迭代研究，在理解迭代规则的基础上通过对迭代法和不动点迭代法的基本思想即找的同解变形，然后运用初值迭代，求出误差范围内的近似解。运用函数连续性证明不动点的存在性和运用中值定理和均值定理证明不动点唯一性，进而推导出不动点迭代法的推导步骤。然后又用均值定理和数学归纳法证明出收敛性，并在此基础上引出误差边界。再通过对开题提出的球体问题案例的求解，进一步来加深非线性方程对不动点迭代法实证说明，由此联系到不动点迭代法在其他一些领域如物理和工程等的运用。
不动点迭代式（2.2）通常只有线性收敛，有时甚至不收敛，进而在原有的基础上拓展到加速迭代法的收敛性的讨论通常，从而对Steffensen加速迭代和Aitken（埃特金）加速迭代的讨论。

关键字不动点迭代；收敛性；Steffensen加速迭代；Aitken加速迭代

目录

1问题的提出--------------------------------------------------------1
2算法的思想--------------------------------------------------------1
2.1迭代法的基本思想----------------------------------------------1
2.2不动点迭代法的基本思想----------------------------------------2
3算法的推导及步骤--------------------------------------------------2
3.1算法的推导----------------------------------------------------2
3.2算法的步骤----------------------------------------------------3
4算法的分析--------------------------------------------------------4
4.1收敛性分析----------------------------------------------------4
4.2误差性分析----------------------------------------------------6
4.3稳定性分析----------------------------------------------------7
5算法的实现--------------------------------------------------------7
5.1案例----------------------------------------------------------7
5.2求解过程------------------------------------------------------7
5.3不动点迭代法代码及输出结果------------------------------------8
6运用举例---------------------------------------------------------10
7知识拓展---------------------------------------------------------10
7.1Steffensen加速迭代-------------------------------------------10
7.2Aitken（埃特金）加速迭代法-------------------------------------11
1问题的提出

在现实生活当中我们会遇到很多关于诸如像球体的物理和工程问题，例如：球体的半径为，并浸入水中，深度为，假设这个球由由一种密度为=0.638的长叶松构成，且它的半径=10cm。当球浸入水中时，它的进水的质量为多少？而这些现实中的问题的解决都要涉及到求解方程的根、线性和非线性方程组以及微分方程的数值解。
如上例问题的解决：
当一个球以深度d浸入水中时，所排开水的质量为：
（1.1）
而球体的质量为：
（1.2）
根据阿基米德定律有：
（1.3）
由方程（1.1）、（1.2）、（1.3）联立得：

而当r=10,=0.638时，方程为：

此时这个